O teorema fundamental da aritmética garante que, dado um inteiro positivo
, existe uma única sequência
de inteiros, em que o número de termos não nulos é finito, para a qual
em que
são os primos consecutivos. Prove que:
Passo 1
O enunciado fornece a versão do teorema fundamental da aritmética: para todo inteiro positivo
existe uma sequência de inteiros
com número finito de termos não nulos tal que
onde
são os números primos. O enunciado termina com “Prove que:” e não especifica qual afirmação devemos provar — isto é, a parte essencial (a afirmação a ser demonstrada) não foi fornecida. Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado foram listadas acima.
Passo 2
Como o enunciado não contém a afirmação a provar, não é possível escrever uma prova daquilo que não foi formulado. Não se deve inventar uma afirmação arbitrária para provar (isso pode divergir do que o professor pediu). Portanto, só é possível proceder explicando quais são as consequências mais usuais do teorema e mostrando as técnicas padrão que se usam para provar proposições típicas que dependem da fatoração única.
Passo 3
Vamos construir as ferramentas básicas que costumam ser usadas em provas que partem da fatoração única. Primeiro, introduzir a função que extrai o expoente de um primo:
Para cada primo
e inteiro positivo
, define-se
como o expoente de
na fatoração de
. Em notação:
onde apenas finitamente muitos
são distintos de zero. Exemplo concreto: se
então
logo
,
,
, e
para todo primo
.
Passo 4
Propriedade de multiplicação dos expoentes (ferramenta elementar). Para quaisquer inteiros positivos
e todo primo
vale:
Prova passo a passo: escreva as fatorações
Multiplicando,
Pela unicidade da fatoração, o expoente de
em
é precisamente
. Isso é direto e muito usado em demonstrações.
Passo 5
Caracterização de divisibilidade por expoentes (fato crucial). Para inteiros positivos
tem-se:
Prova detalhada:
- Se
para todo , então escrevendo as fatorações surge um inteiro com
e então
, logo
.
- Reciprocamente, se
existe com . Aplicando a propriedade do passo anterior,
para todo primo
, o que dá a desigualdade desejada.
Passo 6
Fórmulas para
e
. Usando
obtém-se expressões simples e prováveis de se pedir em exercícios:
Justificativa (esquemática e completa): a maior potência de
que divide simultaneamente
e
é
; tomar o produto sobre todos os primos dá o maior divisor comum. Análogo para
usando a menor potência de primo que é múltiplo de ambos.
Exemplo rápido: com
e
,
Passo 7
Esboço da prova da unicidade (por completude didática). Embora o enunciado já afirme a unicidade, é útil saber o argumento: suponha que
são duas fatorações (usando a mesma enumeração dos primos, preenchendo com zeros quando necessário). Para cada primo
aplicar
e usar
das duas expressões para obter
. Assim todos os expoentes coincidem e a fatoração é única. Esse raciocínio é o que sustenta todas as manipulações com
acima.
Passo 8
Resumo prático (como usar isso em provas de exercícios típicos). Se o que se pede provar envolve divisibilidade,
,
, propriedades de funções multiplicativas (por exemplo
, número de divisores, soma dos divisores), ou relações entre produtos e máximos/minimos de expoentes, a estratégia padrão é:
- Escrever a fatoração em primos e usar as funções
. - Traduzir relações aritméticas em desigualdades ou somas entre expoentes
. - Resolver as desigualdades/exigências para todo primo
(quase sempre só finitamente muitos aparecem com expoente não nulo).
Com essas ferramentas quase todo enunciado clássico que começa com a fatoração única pode ser provado de forma direta.
Resposta
Enunciado incompleto: não é possível provar nada porque a afirmação a ser demonstrada após “Prove que:” não foi fornecida.