O teorema fundamental da aritmética garante que, dado um inteiro positivo a, existe uma única sequência a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots de inteiros, em que o número de termos não nulos é finito, para a qual
a=2^{a_{1}} 3^{a_{2}} 5^{a_{3}} \ldots
em que 2,3,5, \ldots são os primos consecutivos. Prove que:

Passo 1

O enunciado fornece a versão do teorema fundamental da aritmética: para todo inteiro positivo a existe uma sequência de inteiros (a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots) com número finito de termos não nulos tal que
a=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots,
onde 2,3,5,\dots são os números primos. O enunciado termina com “Prove que:” e não especifica qual afirmação devemos provar — isto é, a parte essencial (a afirmação a ser demonstrada) não foi fornecida. Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado foram listadas acima.

Passo 2

Como o enunciado não contém a afirmação a provar, não é possível escrever uma prova daquilo que não foi formulado. Não se deve inventar uma afirmação arbitrária para provar (isso pode divergir do que o professor pediu). Portanto, só é possível proceder explicando quais são as consequências mais usuais do teorema e mostrando as técnicas padrão que se usam para provar proposições típicas que dependem da fatoração única.

Passo 3

Vamos construir as ferramentas básicas que costumam ser usadas em provas que partem da fatoração única. Primeiro, introduzir a função que extrai o expoente de um primo:
Para cada primo p e inteiro positivo a, define-se v_p(a) como o expoente de p na fatoração de a. Em notação:
a=\prod_{q\\ \text{primo}} q^{v_q(a)},
onde apenas finitamente muitos v_q(a) são distintos de zero. Exemplo concreto: se a=60 então
60=2^{2}3^{1}5^{1},
logo v_2(60)=2, v_3(60)=1, v_5(60)=1, e v_p(60)=0 para todo primo p\ge7.

Passo 4

Propriedade de multiplicação dos expoentes (ferramenta elementar). Para quaisquer inteiros positivos a,b e todo primo p vale:
v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b).
Prova passo a passo: escreva as fatorações
a=\prod_{q} q^{v_q(a)},\qquad b=\prod_{q} q^{v_q(b)}.
Multiplicando,
ab=\prod_{q} q^{v_q(a)+v_q(b)}.
Pela unicidade da fatoração, o expoente de p em ab é precisamente v_p(a)+v_p(b). Isso é direto e muito usado em demonstrações.

Passo 5

Caracterização de divisibilidade por expoentes (fato crucial). Para inteiros positivos a,b tem-se:
a\mid b \iff v_p(a)\le v_p(b)\\ \text{para todo primo }p.
Prova detalhada:
  • Se v_p(a)\le v_p(b) para todo p, então escrevendo as fatorações surge um inteiro c com
c=\prod_{p} p^{v_p(b)-v_p(a)}\quad\text{(só finitos expoentes não nulos)},óã
e então b=ac, logo a\mid b.
  • Reciprocamente, se a\mid b existe c com b=ac. Aplicando a propriedade do passo anterior,
v_p(b)=v_p(a)+v_p\text{(c)}\ge v_p(a)
para todo primo p, o que dá a desigualdade desejada.

Passo 6

Fórmulas para \gcd e \operatorname{lcm}. Usando v_p obtém-se expressões simples e prováveis de se pedir em exercícios:
\gcd(a,b)=\prod_{p} p^{\min\{v_p(a),v_p(b)\}}, \qquad \operatorname{lcm}(a,b)=\prod_{p} p^{\max\{v_p(a),v_p(b)\}}.
Justificativa (esquemática e completa): a maior potência de p que divide simultaneamente a e b é p^{\min\{v_p(a),v_p(b)\}}; tomar o produto sobre todos os primos dá o maior divisor comum. Análogo para \operatorname{lcm} usando a menor potência de primo que é múltiplo de ambos.
Exemplo rápido: com a=60=2^{2}3^{1}5^{1} e b=90=2^{1}3^{2}5^{1},
\gcd(60,90)=2^{\min(2,1)}3^{\min(1,2)}5^{\min(1,1)}=2^{1}3^{1}5^{1}=30,
\operatorname{lcm}(60,90)=2^{\max(2,1)}3^{\max(1,2)}5^{\max(1,1)}=2^{2}3^{2}5^{1}=180.

Passo 7

Esboço da prova da unicidade (por completude didática). Embora o enunciado já afirme a unicidade, é útil saber o argumento: suponha que
\prod_{i} p_i^{\alpha_i}=\prod_{i} p_i^{\beta_i}
são duas fatorações (usando a mesma enumeração dos primos, preenchendo com zeros quando necessário). Para cada primo p_j aplicar v_{p_j} e usar v_{p_j} das duas expressões para obter \alpha_j=\beta_j. Assim todos os expoentes coincidem e a fatoração é única. Esse raciocínio é o que sustenta todas as manipulações com v_p acima.

Passo 8

Resumo prático (como usar isso em provas de exercícios típicos). Se o que se pede provar envolve divisibilidade, \gcd, \operatorname{lcm}, propriedades de funções multiplicativas (por exemplo \varphi, número de divisores, soma dos divisores), ou relações entre produtos e máximos/minimos de expoentes, a estratégia padrão é:
  1. Escrever a fatoração em primos e usar as funções v_p.
  2. Traduzir relações aritméticas em desigualdades ou somas entre expoentes v_p.
  3. Resolver as desigualdades/exigências para todo primo p (quase sempre só finitamente muitos p aparecem com expoente não nulo).
    Com essas ferramentas quase todo enunciado clássico que começa com a fatoração única pode ser provado de forma direta.

Resposta

Enunciado incompleto: não é possível provar nada porque a afirmação a ser demonstrada após “Prove que:” não foi fornecida.

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