Assumindo que as misturas de benzeno e tolueno obedecem a Lei de Raoult, calcule e plote em gráfico o diagrama T versus \mathrm{x}, \mathrm{y} para esse sistema, à pressão total de 760 mmHg . As pressões de vapor de benzeno e tolueno encontram-se na tabela abaixo:
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T ( { }^{\circ} \mathrm{F} ) Pv benzeno (mmHg) Pv tolueno (mmHg)
176,2 760 -
180 811 314
185 882 345
190 957 378
195 1037 414
200 1123 452
205 1214 494
210 1310 538
215 1412 585
220 1520 635
225 1625 689
230 1756 747
231,1 - 760

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o diagrama de equilíbrio líquido-vapor (temperatura T versus fração molar líquida \mathrm{x} e fração molar de vapor \mathrm{y}) para a mistura benzeno–tolueno, assumindo a Lei de Raoult, à pressão total P_{tot}=760\\ \text{mmHg}. Ou seja, para várias composições líquidas \mathrm{x} quero o ponto de bolha (bubble point) T e a composição do vapor \mathrm{y} correspondente; o conjunto desses pontos forma a curva bolha T(\mathrm{x}) e a curva orvalho T(\mathrm{y}).
  • Informações dadas (peguei os dados diretamente da tabela fornecida no enunciado):
    • Tabela de pressões de vapor P^{sat} (em \text{mmHg}) dos componentes em função da temperatura T (em ^{\circ}\mathrm{F}). Valores importantes usados: para o benzeno e tolueno conforme as linhas da tabela (por exemplo \,P^{sat}_{\text{benz}}(176{,}2^\circ\mathrm{F})=760\\ \text{mmHg}, \,P^{sat}_{\text{tol}}(231{,}1^\circ\mathrm{F})=760\\ \text{mmHg}, e todos os outros pares T P^{sat} da tabela).
  • O objetivo prático imediato: calcular alguns pontos representativos do diagrama (vou calcular para \mathrm{x}=1{,}0,\;0{,}75,\;0{,}5,\;0{,}25,\;0{,}0) e fornecer os pares (\mathrm{x},T) (curva de bolha) e (\mathrm{y},T) (curva de orvalho) para plotagem.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar — explicadinho e devagarinho
  • Lei de Raoult (para solução ideal binária): a pressão parcial de cada componente no vapor é igual à fração molar líquida multiplicada pela pressão de vapor do componente puro na mesma temperatura. Para benzeno (A) e tolueno (B):
    p_A = x_A\,P_A^{sat}(T),\qquad p_B = x_B\,P_B^{sat}(T).
    Aqui:
    • x_A é a fração molar líquida de benzeno (vou chamar simplesmente de \mathrm{x} quando ficar claro),
    • x_B = 1-\mathrm{x} é a fração molar líquida de tolueno,
    • P_i^{sat}(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T (dados na tabela),
    • p_i é a pressão parcial no vapor do componente i.
  • Pressão total:
    P_{tot} = p_A + p_B = x_A\,P_A^{sat}(T) + x_B\,P_B^{sat}(T).
    No nosso problema P_{tot}=760\\ \text{mmHg}. Para o ponto de bolha: "dada \mathrm{x} (liquido), achar T" tal que a equação acima seja satisfeita.
  • Fração molar do vapor (da composição do vapor em equilíbrio a T) é
    y_A = \frac{p_A}{P_{tot}} = \frac{x_A\,P_A^{sat}(T)}{P_{tot}},\qquad y_B=1-y_A.
    Ou seja: depois de achar T para uma dada \mathrm{x}, calculamos y por essa fórmula.
  • Para o ponto de orvalho (dew point): dado \mathrm{y}, o T deve satisfazer
    1 \;=\; \frac{y_A\,P_{tot}}{P_A^{sat}(T)} + \frac{y_B\,P_{tot}}{P_B^{sat}(T)}.
    (Não vou usar esse modo direto de cálculo porque calcular pontos de orvalho correspondentes às mesmas temperaturas achadas por ponto de bolha é redundante — se eu achar (\mathrm{x},T) e dali obtiver \mathrm{y} pela fórmula acima, já tenho o ponto da curva orvalho.)
  • Como os P^{sat}(T) foram dados apenas em pontos discretos, vou aproximar P^{sat}(T) por interpolação linear entre os pontos mais próximos da tabela. Interpolação linear: se em T_1 temos P_1 e em T_2 temos P_2, para T entre T_1 e T_2 usamos
    P^{sat}(T) \approx P_1 + (P_2-P_1)\,\frac{T-T_1}{T_2-T_1}.
    Isso é um bom chute quando os pontos na tabela são próximos (a tabela tem passos de 5^\circ\mathrm{F}), e suficiente para um gráfico de prova/estudo.
  • Método prático para achar T dado \mathrm{x}: montar a função
    f(T)=x\,P_A^{sat}(T)+(1-x)\,P_B^{sat}(T)-760,
    e achar a raiz f(T)=0. Na prática vou localizar entre quais T da tabela a soma muda de sinal e fazer interpolação linear da soma entre esses limites (isto é equivalente a interpolar linearmente cada P^{sat} e resolver linearmente). Vou mostrar os cálculos passo a passo para cada \mathrm{x} escolhida.

Passo 3

Escolhi os pontos \mathrm{x}=1{,}00,\;0{,}75,\;0{,}50,\;0{,}25,\;0{,}00. Começo pelos casos óbvios das extremidades:
  • Para \mathrm{x}=1{,}00 (benzeno puro líquido): o ponto de bolha é simplesmente a temperatura na qual P^{sat}_{\text{benz}}(T)=760\\ \text{mmHg}. Pela tabela pegada do enunciado temos P^{sat}_{\text{benz}}(176{,}2^\circ\mathrm{F})=760. Então
    T_{\text{bolha}}(\mathrm{x}=1{,}00)=176{,}2^\circ\mathrm{F}, \qquad y = \frac{1{,}00\cdot760}{760}=1{,}00.
  • Para \mathrm{x}=0{,}00 (tolueno puro líquido): análogo, P^{sat}_{\text{tol}}(231{,}1^\circ\mathrm{F})=760 (valor da tabela), então
    T_{\text{bolha}}(\mathrm{x}=0{,}00)=231{,}1^\circ\mathrm{F}, \qquad y = 0{,}00.

Passo 4

Cálculo detalhado para \mathrm{x}=0{,}50 (metade benzeno, metade tolueno)
  • Condição de bolha: \;0{,}5\,P_A^{sat}(T)+0{,}5\,P_B^{sat}(T)=760. Multiplicando por 2: P_A^{sat}(T)+P_B^{sat}(T)=1520.
  • Procuro na tabela o intervalo de T cuja soma P_A^{sat}+P_B^{sat} envolve 1520. Calculo algumas somas diretamente dos valores da tabela:
    • Em T=195^\circ\mathrm{F}: P_A^{sat}=1037,\;P_B^{sat}=414 então soma =1451 (menor que 1520).
    • Em T=200^\circ\mathrm{F}: P_A^{sat}=1123,\;P_B^{sat}=452 então soma =1575 (maior que 1520).
  • Logo o T procurado está entre 195 e 200^\circ\mathrm{F}. Faço interpolação linear da soma entre esses pontos: T = 195 + \frac{1520-1451}{1575-1451}\cdot(200-195).Calculo: \frac{1520-1451}{1575-1451}=\frac{69}{124}\approx0{,}556,então T\approx195+0{,}556\cdot5=195+2{,}78=197{,}78^\circ\mathrm{F}.
  • Agora obtenho P_A^{sat} e P_B^{sat} nesse T por interpolação em cada tabela:
    • Para o benzeno (entre 195 e 200^\circ\mathrm{F}): variação 1123-1037=86 em 5^\circ\mathrm{F} => 17{,}2\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_A^{sat}(197{,}78)\approx1037 + 17{,}2\cdot(197{,}78-195)=1037+17{,}2\cdot2{,}78\approx1037+47{,}82\approx1084{,}82.
    • Para o tolueno (entre 195 e 200^\circ\mathrm{F}): variação 452-414=38 em 5^\circ\mathrm{F} => 7{,}6\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_B^{sat}(197{,}78)\approx414 + 7{,}6\cdot2{,}78\approx414+21{,}13\approx435{,}13.
    • Verificação rápida: 0{,}5(1084{,}82+435{,}13)=0{,}5(1519{,}95)\approx759{,}98 ~ 760: OK.
  • Composição do vapor: y_A=\frac{x\,P_A^{sat}}{P_{tot}}=\frac{0{,}5\cdot1084{,}82}{760}\approx\frac{542{,}41}{760}\approx0{,}7132.
Portanto para \mathrm{x}=0{,}50 obtivemos
T\approx197{,}78^\circ\mathrm{F},\qquad y\approx0{,}713.

Passo 5

Cálculo detalhado para \mathrm{x}=0{,}25
  • Condição: 0{,}25\,P_A^{sat}(T)+0{,}75\,P_B^{sat}(T)=760.Multiplicando por 4: P_A^{sat}(T)+3\,P_B^{sat}(T)=3040.
  • Avalio a expressão nos pontos de tabela para localizar o intervalo:
    • Em T=210^\circ\mathrm{F}: P_A=1310,\;P_B=538 => 1310+3\cdot538=1310+1614=2924 (menor que 3040).
    • Em T=215^\circ\mathrm{F}: P_A=1412,\;P_B=585 => 1412+3\cdot585=1412+1755=3167 (maior que 3040).
  • Logo T entre 210 e 215^\circ\mathrm{F}. Interpolação da combinação: T=210+\frac{3040-2924}{3167-2924}\cdot5=210+\frac{116}{243}\cdot5.
\frac{116}{243}\approx0{,}477\quad\Rightarrow\quad T\approx210+0{,}477\cdot5=210+2{,}385=212{,}39^\circ\mathrm{F}.
  • Interpolo P_A^{sat} e P_B^{sat} separadamente no T encontrado:
    • Para benzeno (entre 210 e 215): variação 1412-1310=102 em 5^\circ\mathrm{F} => 20{,}4\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_A^{sat}(212{,}39)\approx1310+20{,}4\cdot2{,}39\approx1310+48{,}76\approx1358{,}76.
    • Para tolueno (entre 210 e 215): variação 585-538=47 em 5^\circ\mathrm{F} => 9{,}4\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_B^{sat}(212{,}39)\approx538+9{,}4\cdot2{,}39\approx538+22{,}47\approx560{,}47.
    • Checagem: 0{,}25\cdot1358{,}76 +0{,}75\cdot560{,}47 \approx339{,}69 +420{,}35 \approx760{,}04 OK.
  • Composição do vapor: y_A=\frac{0{,}25\cdot1358{,}76}{760}\approx\frac{339{,}69}{760}\approx0{,}4470.
Portanto para \mathrm{x}=0{,}25:
T\approx212{,}39^\circ\mathrm{F},\qquad y\approx0{,}447.

Passo 6

Cálculo detalhado para \mathrm{x}=0{,}75
  • Condição: 0{,}75\,P_A^{sat}(T)+0{,}25\,P_B^{sat}(T)=760.Multiplicando por 4: 3\,P_A^{sat}(T)+P_B^{sat}(T)=3040.
  • Localizo intervalos na tabela:
    • Em T=185^\circ\mathrm{F}: P_A=882,\;P_B=345 => 3\cdot882+345=2646+345=2991 (menor que 3040).
    • Em T=190^\circ\mathrm{F}: P_A=957,\;P_B=378 => 3\cdot957+378=2871+378=3249 (maior que 3040).
  • T está entre 185 e 190^\circ\mathrm{F}. Interpolação: T=185+\frac{3040-2991}{3249-2991}\cdot5=185+\frac{49}{258}\cdot5.
\frac{49}{258}\approx0{,}190\quad\Rightarrow\quad T\approx185+0{,}19\cdot5=185+0{,}95=185{,}95^\circ\mathrm{F}.
  • Interpolo P_A^{sat} e P_B^{sat} nesse T:
    • Benzeno (entre 185 e 190): variação 957-882=75 em 5^\circ\mathrm{F} => 15\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_A^{sat}(185{,}95)\approx882+15\cdot0{,}95\approx882+14{,}25\approx896{,}25.
    • Tolueno (entre 185 e 190): variação 378-345=33 em 5^\circ\mathrm{F} => 6{,}6\\ \text{mmHg}/^\circ\mathrm{F}. P_B^{sat}(185{,}95)\approx345+6{,}6\cdot0{,}95\approx345+6{,}27\approx351{,}27.
    • Checagem: 0{,}75\cdot896{,}25 +0{,}25\cdot351{,}27 \approx672{,}19 +87{,}82 \approx760{,}01 OK.
  • Composição do vapor: y_A=\frac{0{,}75\cdot896{,}25}{760}\approx\frac{672{,}19}{760}\approx0{,}8850.
Portanto para \mathrm{x}=0{,}75:
T\approx185{,}95^\circ\mathrm{F},\qquad y\approx0{,}885.

Passo 7

Resumo dos pontos calculados e instruções rápidas de plotagem (como transformar isso num gráfico)
  • Pontos calculados (cada par (\mathrm{x},T) dá também o \mathrm{y} correspondente usando y=\dfrac{x\,P_A^{sat}(T)}{760}). Estes pontos são suficientes para traçar qualitativamente as curvas bolha T(\mathrm{x}) e orvalho T(\mathrm{y}).
    Pontos (arredondados a 3 algarismos relevantes):
    • \mathrm{x}=1{,}00:\quad T=176{,}20^\circ\mathrm{F},\quad \mathrm{y}=1{,}000.
    • \mathrm{x}=0{,}75:\quad T\approx185{,}95^\circ\mathrm{F},\quad \mathrm{y}\approx0{,}885.
    • \mathrm{x}=0{,}50:\quad T\approx197{,}78^\circ\mathrm{F},\quad \mathrm{y}\approx0{,}713.
    • \mathrm{x}=0{,}25:\quad T\approx212{,}39^\circ\mathrm{F},\quad \mathrm{y}\approx0{,}447.
    • \mathrm{x}=0{,}00:\quad T=231{,}10^\circ\mathrm{F},\quad \mathrm{y}=0{,}000.
  • Como plotar:
    • Para a curva de bolha: eixo horizontal = \mathrm{x} (fração molar líquida de benzeno), eixo vertical = T. Plote os pontos (1{,}00,176{,}20), (0{,}75,185{,}95), (0{,}50,197{,}78), (0{,}25,212{,}39), (0{,}00,231{,}10) e una-os com uma linha suave.
    • Para a curva de orvalho: eixo horizontal = \mathrm{y} (fração molar vapor de benzeno), eixo vertical = T. Use os pontos (1{,}00,176{,}20), (0{,}885,185{,}95), (0{,}713,197{,}78), (0{,}447,212{,}39), (0{,}00,231{,}10).
    • Dica prática: em Excel coloque duas séries: (x, T) para bolha e (y, T) para orvalho; em Python/Matplotlib faça algo como: \texttt{plt.plot(x\_vals, T\_vals\_bubble, '-o');\\ plt.plot(y\_vals, T\_vals\_dew, '-o');\\ plt.xlabel('x or y');\\ plt.ylabel('T (deg F)')}(aqui só um rascunho de código; os pontos numéricos estão listados acima).
  • Observação didática final: cada ponto da tabela que eu calculei satisfaz a condição de equilíbrio por interpolação linear dos P^{sat}(T). Para um gráfico mais suave e preciso, repita o procedimento para mais valores de \mathrm{x} (por ex. passo de 0{,}1 ou 0{,}05) e, se quiser alta precisão, use uma interpolação mais sofisticada (ex.: polinomial ou spline) ou um método numérico (bissecção / Newton) aplicando f(T)=xP_A^{sat}(T)+(1-x)P_B^{sat}(T)-760 com P^{sat}(T) interpolado continuamente.

Resposta

\mathrm{x}=1{,}00,\;T=176{,}20^\circ\mathrm{F},\; \mathrm{y}=1{,}000
\mathrm{x}=0{,}75,\;T\approx185{,}95^\circ\mathrm{F},\; \mathrm{y}\approx0{,}885
\mathrm{x}=0{,}50,\;T\approx197{,}78^\circ\mathrm{F},\; \mathrm{y}\approx0{,}713
\mathrm{x}=0{,}25,\;T\approx212{,}39^\circ\mathrm{F},\; \mathrm{y}\approx0{,}447
\mathrm{x}=0{,}00,\;T=231{,}10^\circ\mathrm{F},\; \mathrm{y}=0{,}000

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