Assumindo que as misturas de benzeno e tolueno obedecem a Lei de Raoult, calcule e plote em gráfico o diagrama T versus
para esse sistema, à pressão total de 760 mmHg . As pressões de vapor de benzeno e tolueno encontram-se na tabela abaixo:
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T (
)
Pv benzeno (mmHg)
Pv tolueno (mmHg)
176,2
760
-
180
811
314
185
882
345
190
957
378
195
1037
414
200
1123
452
205
1214
494
210
1310
538
215
1412
585
220
1520
635
225
1625
689
230
1756
747
231,1
-
760
| T (
|
Pv benzeno (mmHg) | Pv tolueno (mmHg) |
| 176,2 | 760 | - |
| 180 | 811 | 314 |
| 185 | 882 | 345 |
| 190 | 957 | 378 |
| 195 | 1037 | 414 |
| 200 | 1123 | 452 |
| 205 | 1214 | 494 |
| 210 | 1310 | 538 |
| 215 | 1412 | 585 |
| 220 | 1520 | 635 |
| 225 | 1625 | 689 |
| 230 | 1756 | 747 |
| 231,1 | - | 760 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o diagrama de equilíbrio líquido-vapor (temperatura
versus fração molar líquida e fração molar de vapor ) para a mistura benzeno–tolueno, assumindo a Lei de Raoult, à pressão total . Ou seja, para várias composições líquidas quero o ponto de bolha (bubble point) e a composição do vapor correspondente; o conjunto desses pontos forma a curva bolha e a curva orvalho . - Informações dadas (peguei os dados diretamente da tabela fornecida no enunciado):
- Tabela de pressões de vapor
(em ) dos componentes em função da temperatura (em ). Valores importantes usados: para o benzeno e tolueno conforme as linhas da tabela (por exemplo , , e todos os outros pares – da tabela).
- Tabela de pressões de vapor
- O objetivo prático imediato: calcular alguns pontos representativos do diagrama (vou calcular para
) e fornecer os pares (curva de bolha) e (curva de orvalho) para plotagem.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar — explicadinho e devagarinho
-
Lei de Raoult (para solução ideal binária): a pressão parcial de cada componente no vapor é igual à fração molar líquida multiplicada pela pressão de vapor do componente puro na mesma temperatura. Para benzeno (A) e tolueno (B):Aqui:
-
é a fração molar líquida de benzeno (vou chamar simplesmente de quando ficar claro), -
é a fração molar líquida de tolueno, -
é a pressão de vapor do componente puro à temperatura (dados na tabela), -
é a pressão parcial no vapor do componente .
-
-
Pressão total:No nosso problema
. Para o ponto de bolha: "dada (liquido), achar " tal que a equação acima seja satisfeita. -
Fração molar do vapor (da composição do vapor em equilíbrio a
) é Ou seja: depois de acharpara uma dada , calculamos por essa fórmula. -
Para o ponto de orvalho (dew point): dado
, o deve satisfazer (Não vou usar esse modo direto de cálculo porque calcular pontos de orvalho correspondentes às mesmas temperaturas achadas por ponto de bolha é redundante — se eu achare dali obtiver pela fórmula acima, já tenho o ponto da curva orvalho.) -
Como os
foram dados apenas em pontos discretos, vou aproximar por interpolação linear entre os pontos mais próximos da tabela. Interpolação linear: se em temos e em temos , para entre e usamos Isso é um bom chute quando os pontos na tabela são próximos (a tabela tem passos de), e suficiente para um gráfico de prova/estudo. -
Método prático para achar
dado : montar a função e achar a raiz. Na prática vou localizar entre quais da tabela a soma muda de sinal e fazer interpolação linear da soma entre esses limites (isto é equivalente a interpolar linearmente cada e resolver linearmente). Vou mostrar os cálculos passo a passo para cada escolhida.
Passo 3
Escolhi os pontos
. Começo pelos casos óbvios das extremidades:
-
Para
(benzeno puro líquido): o ponto de bolha é simplesmente a temperatura na qual . Pela tabela pegada do enunciado temos . Então -
Para
(tolueno puro líquido): análogo, (valor da tabela), então
Passo 4
Cálculo detalhado para
(metade benzeno, metade tolueno)
- Condição de bolha:
Multiplicando por : - Procuro na tabela o intervalo de
cuja soma envolve . Calculo algumas somas diretamente dos valores da tabela: - Em
: então soma (menor que ). - Em
: então soma (maior que ).
- Em
- Logo o
procurado está entre e . Faço interpolação linear da soma entre esses pontos: Calculo: então - Agora obtenho
e nesse por interpolação em cada tabela: - Para o benzeno (entre
e ): variação em => . - Para o tolueno (entre
e ): variação em => . - Verificação rápida:
~ : OK.
- Para o benzeno (entre
- Composição do vapor:
Portanto para
obtivemos
Passo 5
Cálculo detalhado para
- Condição:
Multiplicando por : - Avalio a expressão nos pontos de tabela para localizar o intervalo:
- Em
: => (menor que ). - Em
: => (maior que ).
- Em
- Logo
entre e . Interpolação da combinação:
- Interpolo
e separadamente no encontrado: - Para benzeno (entre
e ): variação em => . - Para tolueno (entre
e ): variação em => . - Checagem:
OK.
- Para benzeno (entre
- Composição do vapor:
Portanto para
:
Passo 6
Cálculo detalhado para
- Condição:
Multiplicando por : - Localizo intervalos na tabela:
- Em
: => (menor que ). - Em
: => (maior que ).
- Em
-
está entre e . Interpolação:
- Interpolo
e nesse : - Benzeno (entre
e ): variação em => . - Tolueno (entre
e ): variação em => . - Checagem:
OK.
- Benzeno (entre
- Composição do vapor:
Portanto para
:
Passo 7
Resumo dos pontos calculados e instruções rápidas de plotagem (como transformar isso num gráfico)
-
Pontos calculados (cada par
dá também o correspondente usando ). Estes pontos são suficientes para traçar qualitativamente as curvas bolha e orvalho . Pontos (arredondados a 3 algarismos relevantes):-
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Como plotar:
- Para a curva de bolha: eixo horizontal =
(fração molar líquida de benzeno), eixo vertical = . Plote os pontos , , , , e una-os com uma linha suave. - Para a curva de orvalho: eixo horizontal =
(fração molar vapor de benzeno), eixo vertical = . Use os pontos , , , , . - Dica prática: em Excel coloque duas séries: (x, T) para bolha e (y, T) para orvalho; em Python/Matplotlib faça algo como:
(aqui só um rascunho de código; os pontos numéricos estão listados acima).
- Para a curva de bolha: eixo horizontal =
-
Observação didática final: cada ponto da tabela que eu calculei satisfaz a condição de equilíbrio por interpolação linear dos
. Para um gráfico mais suave e preciso, repita o procedimento para mais valores de (por ex. passo de ou ) e, se quiser alta precisão, use uma interpolação mais sofisticada (ex.: polinomial ou spline) ou um método numérico (bissecção / Newton) aplicando com interpolado continuamente.