O sistema álcool metílico (1) - tetracloreto de carbono (2) formam um azeótropo a 55 \% molar de álcool metílico a 1 atm a 55,65^{\circ} \mathrm{C}. Estime a composição do vapor em equilíbrio com a solução que contém 86,8% de álcool metílico.
\mathrm{T}=55,65^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{P}_{1}{ }^{*}=526,3 \mathrm{mmHg}
\mathrm{P}_{2}{ }^{*}=384,1 \mathrm{mmHg}
A equação que fornece a pressão de vapor em mmHg em função da temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) é:
\begin{aligned} & \log P_{1}^{*}=7,87832-\frac{1473,11}{230+T} \\\ & \log P_{2}^{*}=6,93390-\frac{1242,43}{230+T} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: estimar a composição do vapor em equilíbrio com uma solução que contém \,86{,}8\% molar de álcool metílico (componente 1) à temperatura \,55{,}65^\circ\mathrm{C}.\n
Dados fornecidos (uso exatamente os valores do enunciado):\n
\bullet Azeótropo em \,x_1^{\text{az}}=0{,}55 (fração molar de álcool metílico) a 1\\ \text{atm}=760\\ \mathrm{mmHg} e T=55{,}65^\circ\mathrm{C}.\n
\bullet Pressões de vapor dos puros à temperatura dada: \,P_1^{*}=526{,}3\\ \mathrm{mmHg} e \,P_2^{*}=384{,}1\\ \mathrm{mmHg}.\n
\bullet Queremos a composição do vapor (fração molar y_1) em equilíbrio com a solução com \,x_1=0{,}868.\n
Não houve figura faltando; todos os dados necessários estão no enunciado.

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicação didática):\n
  • Em equilíbrio vapor–líquido usamos a lei de Raoult modificada:
p_i = x_i\,\gamma_i\,P_i^{*},
onde p_i é a pressão parcial do componente i no vapor, x_i é a fração molar no líquido, P_i^{*} é a pressão de vapor do composto puro à temperatura considerada, e \gamma_i é o coeficiente de atividade (mede a não idealidade no líquido).\n
  • A fração molar do componente i no vapor é
y_i=\frac{p_i}{p_1+p_2}.
  • O sistema forma azeótropo, então no ponto azeotrópico a composição do vapor é igual à do líquido: y_i^{\text{az}}=x_i^{\text{az}}. Usamos isso para obter informação sobre \gamma_i naquele ponto.\n
  • Como a não idealidade varia com composição, vou representar \gamma_i(x) com o modelo de Margules de dois parâmetros (modelo com duas constantes A_{12} e A_{21}), que é simples e permite ajustar os coeficientes a partir dos dados do azeótropo e depois estimar \gamma_i para outra composição. As fórmulas (duas-constantes) são:
\ln\gamma_1 = x_2^{2}\left[A_{12}+2\,(A_{21}-A_{12})\,x_1\right],
\ln\gamma_2 = x_1^{2}\left[A_{21}+2\,(A_{12}-A_{21})\,x_2\right].
Explico: A_{12} e A_{21} são parâmetros ajustáveis; x_1,x_2 são as frações molares no líquido e x_2=1-x_1.\n
  • Plano: (i) obter \gamma_1 e \gamma_2 no azeótropo usando a condição y=x e P_{\text{tot}}=760\\ \mathrm{mmHg}; (ii) resolver pelas equações de Margules para encontrar A_{12} e A_{21}; (iii) calcular \gamma_i para x_1=0{,}868; (iv) usar a lei de Raoult modificada para obter p_i e então y_1.

Passo 3

Obter \gamma_i no azeótropo (uso direto da condição azeotrópica):\n
No azeótropo x_1^{\text{az}}=y_1^{\text{az}}=0{,}55 e a pressão total é P=760\\ \mathrm{mmHg}. Pela lei modificada, para cada componente no azeótropo:
y_1^{\text{az}}P = x_1^{\text{az}}\gamma_1^{\text{az}}P_1^{*}.
Mas y_1^{\text{az}}=x_1^{\text{az}}, logo simplifica para
\gamma_1^{\text{az}}=\frac{P}{P_1^{*}}.
Analogamente
\gamma_2^{\text{az}}=\frac{P}{P_2^{*}}.
Substituindo os números dados:
\gamma_1^{\text{az}}=\frac{760}{526{,}3}=1{,}4440\quad(\text{aprox.}),
\gamma_2^{\text{az}}=\frac{760}{384{,}1}=1{,}9790\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Montar as equações de Margules no ponto azeotrópico e obter um sistema linear para A_{12} e A_{21}:\n
Use x_1^{\text{az}}=0{,}55 e x_2^{\text{az}}=0{,}45. Calculo os termos quadráticos:
(x_2^{\text{az}})^2=(0{,}45)^2=0{,}2025,\qquad (x_1^{\text{az}})^2=(0{,}55)^2=0{,}3025.
As equações de Margules no azeótropo dão
\ln\gamma_1^{\text{az}} = 0{,}2025\left[A_{12}+2(A_{21}-A_{12})\cdot0{,}55\right],
\ln\gamma_2^{\text{az}} = 0{,}3025\left[A_{21}+2(A_{12}-A_{21})\cdot0{,}45\right].
Agora calculo os logaritmos (valores numéricos):
\ln\gamma_1^{\text{az}}=\ln(1{,}4440)=0{,}3665\quad(\text{aprox.}),
\ln\gamma_2^{\text{az}}=\ln(1{,}9790)=0{,}6840\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Transformar em sistema linear e resolver para A_{12} e A_{21}:\n
Expandindo as equações anteriores obtemos (fatorando os coeficientes numéricos):
0{,}3665 = -0{,}02025\,A_{12} + 0{,}22275\,A_{21},
0{,}6840 = 0{,}27225\,A_{12} + 0{,}03025\,A_{21}.
(Isto decorre da expansão algébrica das expressões de Margules mostradas no passo anterior.)\n
Agora resolvo esse sistema de duas equações lineares. Faço eliminação: multiplico a primeira equação por 13{,}444444 (valor que anula A_{12} ao somá-la com a segunda) e somo com a segunda; os cálculos numéricos dão:
A_{21}\approx 1{,}4320,
e substituindo de volta,
A_{12}\approx 2{,}3538.

Passo 6

Interpretação: obtivemos os parâmetros de Margules
A_{12}\approx 2{,}3538,\qquad A_{21}\approx 1{,}4320.
Agora podemos estimar \gamma_1 e \gamma_2 para qualquer x_1 pela fórmula de Margules do passo 2.

Passo 7

Calcular \gamma_i para a composição alvo x_1=0{,}868 (logo x_2=1-0{,}868=0{,}132):\n
Cálculo dos quadrados:
x_2^2=(0{,}132)^2=0{,}017424,\qquad x_1^2=(0{,}868)^2=0{,}753424.
Usando as fórmulas:
\ln\gamma_1 = x_2^{2}\left[A_{12}+2(A_{21}-A_{12})x_1\right].
Substituindo números:
A_{21}-A_{12}=1{,}4320-2{,}3538=-0{,}9218,
A_{12}+2(A_{21}-A_{12})x_1 = 2{,}3538 + 2(-0{,}9218)(0{,}868)=0{,}753538\\ (\text{aprox.}),
\ln\gamma_1 = 0{,}017424\times 0{,}753538 = 0{,}013128,
\gamma_1=\exp(0{,}013128)=1{,}0132\\ (\text{aprox.}).
Para o segundo componente:
\ln\gamma_2 = x_1^{2}\left[A_{21}+2(A_{12}-A_{21})x_2\right],
A_{12}-A_{21}=0{,}9218,
A_{21}+2(A_{12}-A_{21})x_2 = 1{,}4320 + 2(0{,}9218)(0{,}132)=1{,}67536\\ (\text{aprox.}),
\ln\gamma_2 = 0{,}753424\times 1{,}67536 = 1{,}2621,
\gamma_2=\exp(1{,}2621)=3{,}532\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Calcular as pressões parciais usando a lei de Raoult modificada e obter a composição do vapor:\n
Usando \,P_1^{*}=526{,}3\\ \mathrm{mmHg} e \,P_2^{*}=384{,}1\\ \mathrm{mmHg} e x_1=0{,}868,\\ x_2=0{,}132:
Calculo de p_1:
p_1 = x_1\,\gamma_1\,P_1^{*} = 0{,}868\times 1{,}0132\times 526{,}3.
Passo a passo numérico:
1{,}0132\times 526{,}3 \approx 533{,}246,
p_1 \approx 0{,}868\times 533{,}246 \approx 462{,}85\\ \mathrm{mmHg}.
Calculo de p_2:
p_2 = x_2\,\gamma_2\,P_2^{*} = 0{,}132\times 3{,}532\times 384{,}1.
Passo a passo numérico:
3{,}532\times 384{,}1 \approx 1\,356{,}641,
p_2 \approx 0{,}132\times 1\,356{,}641 \approx 179{,}08\\ \mathrm{mmHg}.
Pressão total calculada:
P = p_1 + p_2 \approx 462{,}85 + 179{,}08 = 641{,}93\\ \mathrm{mmHg}.
Finalmente, a fração molar do álcool metílico no vapor é
y_1 = \frac{p_1}{p_1+p_2} = \frac{462{,}85}{641{,}93} \approx 0{,}7209.

Passo 9

Interpretação do resultado: para a solução com \,x_1=0{,}868 a estimativa pelo modelo de Margules (ajustado ao azeótropo) dá \,y_1\approx 0{,}7209, ou seja o vapor é menos rico em álcool metílico do que o líquido (liq. 86,8% → vap. ≈72,1%), conforme a não idealidade modelada.

Resposta

y_1 \approx 0{,}7209 (ou 72{,}09\% molar de álcool metílico)

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