Assumindo uma pessoa de 54 kilos que esta sentada em um balanco de 10.8 kilos, e com comprimento de 1.4 metros em relacao ao eíxo de pivotamento, e que a pessoa é solta de uma posicao angular de 17.8 graus no sentido anti-horario (em relacao a posicao mais baixa do corpo), com velocidade tangencial no ponto igual a
, e com taxa de amortecimento do sistema igual a 0.58 , calcule: a) Periodo da oscilacao. b) Velocidade tangencial maxima da pessoa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que extraí do enunciado, sem resolver ainda).
- Massa da pessoa:
. - Massa do balanço (assento):
. - Comprimento do braço (distância ao pivô):
. - Posição angular inicial (medida a partir da posição mais baixa):
. - Velocidade tangencial naquele ponto (no instante inicial):
. - “Taxa de amortecimento” fornecida:
. Vou assumir que isso é a razão adimensional de amortecimento (razão de amortecimento), isto é, o coeficiente . (Não foi fornecida unidade explícita; essa interpretação é a mais comum para “taxa de amortecimento” quando aparece como número entre 0 e 1.) - O enunciado pede:
(a) período da oscilação;
(b) velocidade tangencial máxima da pessoa durante o movimento.
Informações adicionais que vou usar (padrões):
- aceleração da gravidade:
.
Passo 2
Modelo físico e decisões de modelagem (por que escolho esse método).
- Um balanço com pessoa pode ser modelado, para pequenas oscilações, como um pêndulo simples (toda massa concentrada no ponto a distância
). Observação importante: para um pêndulo simples a frequência natural não depende da massa total (cancelamento de ); por isso não precisamos distribuir as massas detalhadamente. Essa é a modelagem mais prática e a que se usa em provas quando só se dá comprimento e massa (e quando não foi dada distribuição do assento). - Para oscilações amortecidas (com
) o sistema é subamortecido e a solução linearizada é a de um oscilador harmônico amortecido. Vou usar a aproximação de pequenas oscilações ( em radianos), que é padrão para da ordem de . - Equação linearizada (forma padrão):
-
é a frequência natural não amortecida (rad/s). -
é a razão de amortecimento (adimensional). -
é a frequência amortecida (rad/s). - Período amortecido:
.
-
- Fórmula para pêndulo simples (pequeno ângulo):
- Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular:
- Para obter a velocidade máxima devemos resolver (ou usar a forma da solução) para
com as condições iniciais e , e então encontrar o máximo de para . Vou fazer isso com a forma clássica da solução do oscilador amortecido.
Passo 3
Calcular frequências
,
e o período amortecido
.
- Converter o ângulo inicial para radianos (vai ser usado depois):
- Frequência natural (pêndulo simples):
Calculemos: - Coeficiente de amortecimento (taxa):
Então é a taxa exponencial: - Frequência amortecida:
Calcule:
- Período da oscilação amortecida:
Calcule:
Passo 4
Preparar para calcular a velocidade angular máxima: transformar condições iniciais e escrever a solução geral.
- Velocidade angular inicial (a partir da velocidade tangencial dada):
- A solução generalizada (subamortecido) pode ser escrita como
onde e são determinados por e . - Em termos das constantes intermediárias (método direto): escrevendo a solução também como
as condições iniciais dão e - A amplitude
e a fase são:
Passo 5
Calcular
,
,
numericamente (passo a passo).
- Já temos:
- Calcule
:
- Então
- Amplitude
:
Passo 6
Expressão para
e identificação do instante onde a velocidade angular atinge um máximo.
- Derivando a forma com fase, obtém-se (padrão):
- Esse termo pode ser reescrito como
onde e é apenas uma fase de deslocamento (não precisamos do valor explícito de para o passo final). - Assim o valor máximo absoluto possível de
em um instante é o envelope Os instantes em que a função oscilante atinge esse envelope (ou seu negativo) satisfazem para inteiro . - O maior valor global para
será o maior entre os valores nos instantes admissíveis . Como a envoltória decai exponencialmente, normalmente o máximo global ocorre no primeiro instante positivo em que a oscilação realize a fase necessária (ou na vizinhança de se a fase já fizer o valor no tempo zero). Portanto, vamos achar o primeiro para o qual .
Passo 7
Determinar o primeiro instante
em que a oscilação atinge o pico da envoltória e calcular a velocidade angular máxima.
-
Uma forma prática é resolver para os tempos
dados por Procuramos o menor. -
Numericamente precisamos de
e (ou, de forma equivalente, podemos encontrar o menor tal que o fator oscilatório produza o máximo; uma maneira prática é achar tal que a expressão dentro do cosseno dê ). Já calculámos e sabemos . Vamos obter e numericamente para achar o menor . - A fase
satisfaz e . Então Assim (≈ ). - A fase
que transforma numa única cosseno tem tangente . Um valor conveniente (consistente com o sinal) é (qualquer representação equivalente módulo serve para encontrar os tempos).
- A fase
-
Assim
-
Os tempos candidatos sãoPara
obtemos o primeiro pequeno: Esse é o primeiro instante positivo em que a função oscilante atinge o pico da envoltória. -
Agora a amplitude da velocidade angular naquele instante éCalculando numericamente:
Passo 8
Converter para velocidade tangencial máxima e concluir resultados numéricos finais.
- Velocidade tangencial máxima:
- Recapitulando o período encontrado:
Resposta
(a)
(b)