Assumindo uma pessoa de 54 kilos que esta sentada em um balanco de 10.8 kilos, e com comprimento de 1.4 metros em relacao ao eíxo de pivotamento, e que a pessoa é solta de uma posicao angular de 17.8 graus no sentido anti-horario (em relacao a posicao mais baixa do corpo), com velocidade tangencial no ponto igual a 1.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e com taxa de amortecimento do sistema igual a 0.58 , calcule: a) Periodo da oscilacao. b) Velocidade tangencial maxima da pessoa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que extraí do enunciado, sem resolver ainda).
  • Massa da pessoa: m_p = 54\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do balanço (assento): m_b = 10{,}8\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do braço (distância ao pivô): L = 1,4\\ \mathrm{m}.
  • Posição angular inicial (medida a partir da posição mais baixa): \theta_0 = 17{,}8^\circ.
  • Velocidade tangencial naquele ponto (no instante inicial): v_0 = 1{,}8\\ \mathrm{m/s}.
  • “Taxa de amortecimento” fornecida: 0{,}58. Vou assumir que isso é a razão adimensional de amortecimento (razão de amortecimento), isto é, o coeficiente \zeta = 0{,}58. (Não foi fornecida unidade explícita; essa interpretação é a mais comum para “taxa de amortecimento” quando aparece como número entre 0 e 1.)
  • O enunciado pede:
    (a) período da oscilação;
    (b) velocidade tangencial máxima da pessoa durante o movimento.
Informações adicionais que vou usar (padrões):
  • aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Modelo físico e decisões de modelagem (por que escolho esse método).
  • Um balanço com pessoa pode ser modelado, para pequenas oscilações, como um pêndulo simples (toda massa concentrada no ponto a distância L). Observação importante: para um pêndulo simples a frequência natural não depende da massa total (cancelamento de m); por isso não precisamos distribuir as massas detalhadamente. Essa é a modelagem mais prática e a que se usa em provas quando só se dá comprimento e massa (e quando não foi dada distribuição do assento).
  • Para oscilações amortecidas (com \zeta = 0{,}58 < 1) o sistema é subamortecido e a solução linearizada é a de um oscilador harmônico amortecido. Vou usar a aproximação de pequenas oscilações ( \sin\theta \approx \theta em radianos), que é padrão para \theta_0 da ordem de 17{,}8^\circ.
  • Equação linearizada (forma padrão): \ddot{\theta} + 2\zeta\omega_n \dot{\theta} + \omega_n^2 \theta = 0.
    • \omega_n é a frequência natural não amortecida (rad/s).
    • \zeta é a razão de amortecimento (adimensional).
    • \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} é a frequência amortecida (rad/s).
    • Período amortecido: T_d = \dfrac{2\pi}{\omega_d}.
  • Fórmula para pêndulo simples (pequeno ângulo): \omega_n = \sqrt{\dfrac{g}{L}}.
  • Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular: v(t) = L\,\dot{\theta}(t).
  • Para obter a velocidade máxima devemos resolver (ou usar a forma da solução) para \dot{\theta}(t) com as condições iniciais \theta(0)=\theta_0 e \dot{\theta}(0)=\dfrac{v_0}{L}, e então encontrar o máximo de |\dot{\theta}(t)| para t\ge0. Vou fazer isso com a forma clássica da solução do oscilador amortecido.

Passo 3

Calcular frequências \omega_n, \omega_d e o período amortecido T_d.
  • Converter o ângulo inicial para radianos (vai ser usado depois): \theta_0 = 17{,}8^\circ = 17{,}8\cdot \dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}3109\\ \text{rad}.
  • Frequência natural (pêndulo simples): \omega_n = \sqrt{\dfrac{g}{L}} = \sqrt{\dfrac{9{,}81}{1{,}4}}.Calculemos: \dfrac{9{,}81}{1{,}4} \approx 7{,}00714,\qquad \omega_n \approx \sqrt{7{,}00714}\approx 2{,}648\\ \text{rad/s}.
  • Coeficiente de amortecimento (taxa): \zeta = 0{,}58.Então \alpha = \zeta\,\omega_n é a taxa exponencial: \alpha = \zeta\,\omega_n \approx 0{,}58\cdot 2{,}648 \approx 1{,}536\\ \text{s}^{-1}.
  • Frequência amortecida: \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 2{,}648\sqrt{1-0{,}58^2}.Calcule: 1-0{,}58^2 = 1-0{,}3364 = 0{,}6636,\quad \sqrt{0{,}6636}\approx 0{,}8147,
\omega_d \approx 2{,}648\cdot 0{,}8147 \approx 2{,}157\\ \text{rad/s}.
  • Período da oscilação amortecida: T_d = \dfrac{2\pi}{\omega_d} \approx \dfrac{2\pi}{2{,}157}.Calcule: T_d \approx \dfrac{6{,}2832}{2{,}157} \approx 2{,}91\\ \text{s}.

Passo 4

Preparar para calcular a velocidade angular máxima: transformar condições iniciais e escrever a solução geral.
  • Velocidade angular inicial (a partir da velocidade tangencial dada): \dot{\theta}(0) = \dfrac{v_0}{L} = \dfrac{1{,}8}{1{,}4} \approx 1{,}2857\\ \text{rad/s}.
  • A solução generalizada (subamortecido) pode ser escrita como \theta(t) = A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t - \varphi),onde A e \varphi são determinados por \theta(0) e \dot{\theta}(0).
  • Em termos das constantes intermediárias (método direto): escrevendo a solução também como \theta(t) = e^{-\alpha t}\big(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\big),as condições iniciais dão C_1=\theta_0 e \dot{\theta}(0) = -\alpha C_1 + \omega_d C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \dfrac{\dot{\theta}(0)+\alpha\theta_0}{\omega_d}.
  • A amplitude A e a fase \varphi são: A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2},\qquad \cos\varphi = \dfrac{C_1}{A},\\ \sin\varphi = \dfrac{C_2}{A}.

Passo 5

Calcular C_1, C_2, A numericamente (passo a passo).
  • Já temos: C_1 = \theta_0 \approx 0{,}3109.
  • Calcule \dot{\theta}(0)+\alpha\theta_0: \alpha\theta_0 \approx 1{,}536\cdot 0{,}3109 \approx 0{,}477,
\dot{\theta}(0)+\alpha\theta_0 \approx 1{,}2857 + 0{,}477 \approx 1{,}7627.
  • Então C_2 = \dfrac{1{,}7627}{\omega_d} \approx \dfrac{1{,}7627}{2{,}157} \approx 0{,}817.
  • Amplitude A: A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2} \approx \sqrt{0{,}3109^2 + 0{,}817^2}
0{,}3109^2 \approx 0{,}0967,\quad 0{,}817^2 \approx 0{,}667,\quad \Rightarrow A \approx \sqrt{0{,}7637}\approx 0{,}874\\ \text{rad}.

Passo 6

Expressão para \dot{\theta}(t) e identificação do instante onde a velocidade angular atinge um máximo.
  • Derivando a forma com fase, obtém-se (padrão): \dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\big(Ae^{-\alpha t}\cos(\omega_d t - \varphi)\big) = A e^{-\alpha t}\big(-\alpha\cos(\omega_d t-\varphi)-\omega_d\sin(\omega_d t-\varphi)\big).
  • Esse termo pode ser reescrito como \dot{\theta}(t) = A e^{-\alpha t} \,R \cos(\omega_d t - \varphi + \delta),onde R = \sqrt{\alpha^2+\omega_d^2} = \omega_n\quad(\text{note: }R=\omega_n\text{, pois }\alpha^2+\omega_d^2=\omega_n^2),e \delta é apenas uma fase de deslocamento (não precisamos do valor explícito de \delta para o passo final).
  • Assim o valor máximo absoluto possível de \dot{\theta} em um instante t é o envelope |\dot{\theta}(t)|_{\max\\ \text{(para esse }t)} = A e^{-\alpha t}\,\omega_n.Os instantes em que a função oscilante atinge esse envelope (ou seu negativo) satisfazem \omega_d t - \varphi + \delta = k\pi para inteiro k.
  • O maior valor global para t\ge0 será o maior entre os valores A e^{-\alpha t_k}\omega_n nos instantes admissíveis t_k. Como a envoltória decai exponencialmente, normalmente o máximo global ocorre no primeiro instante positivo t_k em que a oscilação realize a fase necessária (ou na vizinhança de t=0 se a fase já fizer o valor no tempo zero). Portanto, vamos achar o primeiro t\ge0 para o qual \cos(\omega_d t - \varphi + \delta)=\pm 1.

Passo 7

Determinar o primeiro instante t_1\ge0 em que a oscilação atinge o pico da envoltória e calcular a velocidade angular máxima.
  • Uma forma prática é resolver para os tempos t_k dados por
    \omega_d t_k = \varphi - \delta + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
    Procuramos o menor t_k\ge0.
  • Numericamente precisamos de \varphi e \delta (ou, de forma equivalente, podemos encontrar o menor t\ge0 tal que o fator oscilatório produza o máximo; uma maneira prática é achar t tal que a expressão dentro do cosseno dê \pm 1). Já calculámos A e sabemos \omega_n,\alpha,\omega_d. Vamos obter \varphi e \delta numericamente para achar o menor t\ge0.
    • A fase \varphi satisfaz \cos\varphi = C_1/A e \sin\varphi = C_2/A. Então \cos\varphi \approx \dfrac{0{,}3109}{0{,}874}\approx 0{,}356,\qquad \sin\varphi \approx \dfrac{0{,}817}{0{,}874}\approx 0{,}935.Assim \varphi \approx 1{,}206\\ \text{rad} (≈ 69{,}1^\circ).
    • A fase \delta que transforma -\alpha\cos -\omega_d\sin numa única cosseno tem tangente \omega_d/\alpha. Um valor conveniente (consistente com o sinal) é \delta \approx -2{,}191\\ \text{rad} (qualquer representação equivalente módulo 2\pi serve para encontrar os tempos).
  • Assim
    \varphi - \delta \approx 1{,}206 - (-2{,}191) = 3{,}397\\ \text{rad}.
  • Os tempos candidatos são
    t_k = \dfrac{\varphi-\delta + k\pi}{\omega_d}.
    Para k=-1 obtemos o primeiro t\ge0 pequeno:
    t_1 = \dfrac{3{,}397 - \pi}{\omega_d} = \dfrac{0{,}255}{2{,}157} \approx 0{,}118\\ \text{s}.
    Esse é o primeiro instante positivo em que a função oscilante atinge o pico da envoltória.
  • Agora a amplitude da velocidade angular naquele instante é
    |\dot{\theta}(t_1)| = A e^{-\alpha t_1}\,\omega_n.
    Calculando numericamente:
    e^{-\alpha t_1} \approx e^{-1{,}536\cdot 0{,}118}\approx e^{-0{,}1817}\approx 0{,}8339,
A\omega_n \approx 0{,}874\cdot 2{,}648 \approx 2{,}315\\ \text{rad/s},
|\dot{\theta}(t_1)| \approx 2{,}315\cdot 0{,}8339 \approx 1{,}931\\ \text{rad/s}.

Passo 8

Converter para velocidade tangencial máxima e concluir resultados numéricos finais.
  • Velocidade tangencial máxima: v_{\max} = L\,|\dot{\theta}(t_1)| \approx 1{,}4\cdot 1{,}931 \approx 2{,}70\\ \mathrm{m/s}.
  • Recapitulando o período encontrado: T_d \approx 2{,}91\\ \text{s}.

Resposta

(a) T \approx 2{,}91\\ \mathrm{s}
(b) v_{\max} \approx 2{,}70\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados