Para o modelo dinâmico do sistema abaixo, determinar as funções de transferências:
Passo 1
O enunciado pede explicitamente a função de transferência
Das figuras/informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada) temos os seguintes parâmetros visíveis:
-
. -
. -
.
O enunciado NÃO apresentou, na imagem enviada, os parâmetros elétricos e mecânicos do motor (por exemplo
). Esses parâmetros são necessários para obter um valor numérico da função de transferência. Vou, portanto, derivar a função de transferência de forma simbólica em função desses parâmetros desconhecidos (ou seja, darei
em termos de
e dos dados da imagem).
Passo 2
Aviso importante (pra não bater cabeça depois): sem os valores numéricos de
não é possível obter uma expressão numérica final. Então o caminho a seguir é:
- montar o modelo elétrico e mecânico do motor em domínio de Laplace;
- relacionar o eixo do motor com o eixo onde está
usando a relação da caixa de engrenagens (peguei da imagem); - referir inércia e amortecimento do lado 2 para o lado do motor;
- obter
de forma simbólica.
Passo 3
Equações básicas do motor (vou explicando cada termo):
- Equação elétrica (no domínio de Laplace):
onde:
-
é a tensão de armadura (entrada); -
é a corrente de armadura; -
é a indutância de armadura; -
é a resistência de armadura; -
é a constante de força contra-eletromotriz (V·s/rad); -
é a velocidade angular do eixo do motor (rad/s).
Explicação física rápida: a tensão aplicada divide-se entre a queda na indutância, na resistência e a fcem proporcional à velocidade do motor.
Passo 4
A relação torque-corrente e equação mecânica no eixo do motor:
- Torque gerado pelo motor:
onde
é a constante de torque (N·m/A).
- Equação do movimento (eixos referidos ao motor):
onde:
-
é o torque de carga referido ao eixo do motor (já incluido abaixo na forma de ); -
é a inércia equivalente referida ao eixo do motor; -
é o amortecimento (viscoso) equivalente referido ao eixo do motor.
Explicação: soma dos torques = inércia × aceleração + amortecimento × velocidade.
Passo 5
Como a figura mostra uma caixa de engrenagens com razão
(peguei
da imagem), adoto a convenção usual:
Com essa convenção o torque no lado da carga (lado 2) relaciona-se com o torque do motor por
e o torque da carga referido ao motor é
Para referir inércia
e amortecimento
(dados da imagem:
e
) ao eixo do motor usa-se a relação
onde
e
são a inércia e amortecimento intrínsecos do motor (não fornecidos). Observação: eu peguei
e
da imagem e os usei na fórmula acima para definir os termos referidos ao eixo do motor.
Passo 6
Agora escrevo a equação mecânica usando
e os equivalentes:
Dessa equação isolamos a corrente em função da velocidade:
Passo 7
Substituo
na equação elétrica (Passo 3). Temos:
Substituindo
:
Passo 8
Coloco em evidência
:
Logo a relação entre velocidade do motor e tensão de armadura é
Expliquei: multipliquei numerador e denominador por
para ficar com uma forma limpa.
Passo 9
Agora passo da velocidade do motor para o ângulo
(o que realmente pedem). Relações:
Então
Logo a função de transferência desejada é
Passo 10
Substituindo
obtida no Passo 8 temos a expressão final simbólica:
com
e onde (relembrando) os valores
e
foram obtidos da imagem fornecida. Para obter uma expressão numérica substitua
pelos seus valores.