Para o modelo dinâmico do sistema abaixo, determinar as funções de transferências:
G_{2}(s)=\frac{\theta_{2}(s)}{E_{a}(s)}

Passo 1

O enunciado pede explicitamente a função de transferência
G_{2}(s)=\frac{\theta_{2}(s)}{E_{a}(s)}.
Das figuras/informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada) temos os seguintes parâmetros visíveis:
  • \,N_{4}=20\,.
  • \,J_{4}=16\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\,.
  • \,D=32\\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}/\text{rad}\,.
O enunciado NÃO apresentou, na imagem enviada, os parâmetros elétricos e mecânicos do motor (por exemplo \,R_a,\\ L_a,\\ K_t,\\ K_e,\\ J_m,\\ B_m\,). Esses parâmetros são necessários para obter um valor numérico da função de transferência. Vou, portanto, derivar a função de transferência de forma simbólica em função desses parâmetros desconhecidos (ou seja, darei G_2(s) em termos de \,R_a,\\ L_a,\\ K_t,\\ K_e,\\ J_m,\\ B_m\, e dos dados da imagem).

Passo 2

Aviso importante (pra não bater cabeça depois): sem os valores numéricos de \,R_a,\\ L_a,\\ K_t,\\ K_e,\\ J_m,\\ B_m\, não é possível obter uma expressão numérica final. Então o caminho a seguir é:
  • montar o modelo elétrico e mecânico do motor em domínio de Laplace;
  • relacionar o eixo do motor com o eixo onde está \theta_2 usando a relação da caixa de engrenagens \,N_4\, (peguei N_4 da imagem);
  • referir inércia e amortecimento do lado 2 para o lado do motor;
  • obter \Theta_2(s)/E_a(s) de forma simbólica.

Passo 3

Equações básicas do motor (vou explicando cada termo):
  • Equação elétrica (no domínio de Laplace):
E_a(s)=L_a s I_a(s) + R_a I_a(s) + K_e \Omega_m(s),
onde:
  • \,E_a(s)\, é a tensão de armadura (entrada);
  • \,I_a(s)\, é a corrente de armadura;
  • \,L_a é a indutância de armadura;
  • \,R_a é a resistência de armadura;
  • \,K_e é a constante de força contra-eletromotriz (V·s/rad);
  • \,\Omega_m(s) é a velocidade angular do eixo do motor (rad/s).
    Explicação física rápida: a tensão aplicada divide-se entre a queda na indutância, na resistência e a fcem proporcional à velocidade do motor.

Passo 4

A relação torque-corrente e equação mecânica no eixo do motor:
  • Torque gerado pelo motor:
T_m(s)=K_t I_a(s),
onde \,K_t\, é a constante de torque (N·m/A).
  • Equação do movimento (eixos referidos ao motor):
T_m(s) - T_{\text{ref}}(s) = (J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})\,\Omega_m(s),
onde:
  • T_{\text{ref}}(s) é o torque de carga referido ao eixo do motor (já incluido abaixo na forma de J_{\text{eq}},B_{\text{eq}});
  • J_{\text{eq}} é a inércia equivalente referida ao eixo do motor;
  • B_{\text{eq}} é o amortecimento (viscoso) equivalente referido ao eixo do motor.
    Explicação: soma dos torques = inércia × aceleração + amortecimento × velocidade.

Passo 5

Como a figura mostra uma caixa de engrenagens com razão \,N_4\, (peguei \,N_4=20\, da imagem), adoto a convenção usual:
\omega_m = N_4\,\omega_2,\qquad \theta_m = N_4\,\theta_2.
Com essa convenção o torque no lado da carga (lado 2) relaciona-se com o torque do motor por
T_2 = N_4\,T_m,
e o torque da carga referido ao motor é
T_{\text{ref}} = \frac{T_2}{N_4}.
Para referir inércia J_4 e amortecimento D (dados da imagem: \,J_4=16 e \,D=32) ao eixo do motor usa-se a relação
J_{\text{eq}} = J_m + \frac{J_4}{N_4^2}, \qquad B_{\text{eq}} = B_m + \frac{D}{N_4^2},
onde \,J_m\, e \,B_m\, são a inércia e amortecimento intrínsecos do motor (não fornecidos). Observação: eu peguei \,J_4\, e \,D\, da imagem e os usei na fórmula acima para definir os termos referidos ao eixo do motor.

Passo 6

Agora escrevo a equação mecânica usando T_m=K_t I_a e os equivalentes:
K_t I_a(s) = (J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})\,\Omega_m(s).
Dessa equação isolamos a corrente em função da velocidade:
I_a(s) = \frac{(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})}{K_t}\,\Omega_m(s).

Passo 7

Substituo I_a(s) na equação elétrica (Passo 3). Temos:
E_a(s) = (L_a s + R_a)\,I_a(s) + K_e \Omega_m(s).
Substituindo I_a(s):
E_a(s) = (L_a s + R_a)\,\frac{(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})}{K_t}\,\Omega_m(s) + K_e \Omega_m(s).

Passo 8

Coloco em evidência \Omega_m(s):
E_a(s) = \left[ \frac{(L_a s + R_a)(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})}{K_t} + K_e \right]\Omega_m(s).
Logo a relação entre velocidade do motor e tensão de armadura é
\frac{\Omega_m(s)}{E_a(s)} = \frac{1}{\dfrac{(L_a s + R_a)(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}})}{K_t} + K_e} = \frac{K_t}{(L_a s + R_a)(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}}) + K_t K_e}.
Expliquei: multipliquei numerador e denominador por K_t para ficar com uma forma limpa.

Passo 9

Agora passo da velocidade do motor para o ângulo \theta_2 (o que realmente pedem). Relações:
\Omega_m(s) = s\,\Theta_m(s),\qquad \Theta_2(s)=\frac{\Theta_m(s)}{N_4}.
Então
\Theta_2(s) = \frac{1}{N_4}\,\frac{\Omega_m(s)}{s}.
Logo a função de transferência desejada é
G_2(s)=\frac{\Theta_2(s)}{E_a(s)} = \frac{1}{N_4}\,\frac{1}{s}\,\frac{\Omega_m(s)}{E_a(s)}.

Passo 10

Substituindo \dfrac{\Omega_m(s)}{E_a(s)} obtida no Passo 8 temos a expressão final simbólica:
G_{2}(s)=\frac{\Theta_{2}(s)}{E_{a}(s)} = \frac{K_t}{N_4\,s\left[(L_a s + R_a)(J_{\text{eq}} s + B_{\text{eq}}) + K_t K_e\right]},
com
J_{\text{eq}} = J_m + \frac{J_4}{N_4^2},\qquad B_{\text{eq}} = B_m + \frac{D}{N_4^2},
e onde (relembrando) os valores \,J_4=16\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\, e \,D=32\\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}/\text{rad}\, foram obtidos da imagem fornecida. Para obter uma expressão numérica substitua \,R_a,L_a,K_t,K_e,J_m,B_m\, pelos seus valores.

Resposta

G_{2}(s)=\frac{K_t}{N_4\,s\left[(L_a s + R_a)(\,(J_m + \dfrac{J_4}{N_4^2}) s + (B_m + \dfrac{D}{N_4^2})\,) + K_t K_e\right]}

Exercícios relacionados