Um corpo de 5.02 kilos é solto de uma altura de 2.8 metros acima de um segundo corpo (de igual massa), que esta preso por uma mola de rigidez de
e um amortecedor de
, resultando em uma colisao inelastica no sentido vertical. a) Calcule o maximo deslocamento dos dois corpos após a colisao. b) Calcule a maxima aceleracao dos dois corpos que ocorre um tempo após a colisao.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá vários dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular o máximo deslocamento dos dois corpos após a colisão.
- (b) Calcular a máxima aceleração dos dois corpos que ocorre algum tempo após a colisão.
-
Dados do enunciado:
- Massa de cada corpo:
. - Altura de queda do corpo superior em relação ao corpo inferior:
. - Rigidez da mola:
. - Amortecedor com coeficiente de amortecimento:
. - A colisão é inelástica (assumimos colisão perfeitamente inelástica: os dois corpos ficam juntos logo após a colisão).
- A gravidade será tomada como
.
- Massa de cada corpo:
Observação essencial (usada depois): como a colisão é inelástica e as massas são iguais, imediatamente após a colisão elas se movem juntas com a velocidade determinada pela conservação da quantidade de movimento. Depois disso o sistema conjunto (massa total
) vibra verticalmente preso à mola e ao amortecedor.
Passo 2
Primeiro passo físico: velocidade do corpo que cai imediatamente antes da colisão (queda livre).
- Energia/queda livre: para uma queda livre sem resistência, a velocidade ao atingir o alvo vem de conservação de energia ou da fórmula de queda livre.
- Fórmula usada:
.
Calculemos:
Explicação curta: essa é a velocidade com que o corpo superior atinge o corpo inferior imediatamente antes do contato.
Passo 3
Tratar a colisão inelástica entre duas massas iguais.
- Conservação da quantidade de movimento durante a colisão (impulso interno à parte, assume-se que a mola/amortecedor não atuam significativamente durante o instante idealizado da colisão). Para colisão perfeitamente inelástica:
- Substituindo o valor de
:
Explicação:
é a velocidade inicial (imediatamente após a colisão) do conjunto formado pelos dois corpos que passam a se mover juntos para baixo.
Passo 4
Modelagem do sistema oscilatório após a colisão.
- Massa equivalente do sistema:
. - Sistema massa-mola-amortecedor linear com constantes
e . - Equação de movimento (para deslocamento
medido a partir da posição inicial da mola não comprimida, positivo para baixo): com condições iniciais
Agora calculamos as constantes do sistema:
- Frequência natural não amortecida:
Calcule: - Parâmetro de amortecimento
(mais prático aqui): (nota: onde é razão de amortecimento). - Frequência amortecida:
Breve didática:
diz a frequência de oscilação sem amortecimento;
mede a taxa exponencial de decaimento por causa do amortecedor; quando
(caso nosso), o movimento é subamortecido e as oscilações têm frequência
ligeiramente menor que
.
Passo 5
Solução analítica do movimento (caso subamortecido) com as condições iniciais dadas.
- Forma da solução (subamortecido):
- Condições iniciais:
- Logo a solução torna-se
Explicação: essa forma mostra um seno amortecido — amplitude máxima das oscilações decai exponencialmente com taxa
.
Passo 6
Cálculo do máximo deslocamento (primeiro pico de compressão da mola).
-
Para a solução acima, os instantes de máximo (picos) satisfazem(derivando
e igualando a zero). -
Isso leva aO primeiro máximo positivo ocorre para
-
Valor do deslocamento nesse instante (usar identidade para
do ângulo encontrado): Observação matemática útil: comtem-se E note que. Assim a expressão simplifica para -
Agora substituímos numericamente:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Portanto -
Interpretação: o máximo deslocamento (compressão máxima da mola) é aproximadamente
para baixo a partir da posição inicial.
Passo 7
Verificação física rápida (consistência): sem amortecimento idealmente o máximo seria
. O amortecimento pequeno reduz ligeiramente esse valor para
. Faz sentido: amortecedor consome energia durante a compressão, reduzindo a máxima compressão.
Passo 8
Agora calculemos a máxima aceleração que ocorre algum tempo após a colisão.
-
A aceleração é
. A partir de derivando duas vezes (feito de forma direta) obtemos -
Essa expressão tem a forma
com , e . -
Para um dado tempo
a amplitude do termo trigonométrico é no máximo . Assim o valor máximo absoluto possível (envelope) para no instante é -
Calculemos
: Logo. -
Mas
(porque ). Portanto -
O envelope decai com
, então o máximo absoluto de ao longo do tempo ocorre no instante mais cedo possível em que a combinação trigonométrica atinge a sua amplitude máxima, e esse instante está muito próximo de . O valor máximo global (sobre todo ) é, portanto, obtido tomando o envelope em (e existe um ângulo próximo de zero que realiza a combinação correta): -
Substituindo numericamente:então
-
Pode-se também encontrar o instante aproximado
em que essa máxima aceleração ocorre. Ele satisfaz que numericamente dá
Interpretação: a máxima aceleração (em módulo) é aproximadamente
, ou cerca de
. O sentido é tal que a mola fornece a aceleração restauradora (ou seja, no instante do pico a mola “puxa” para cima com grande intensidade), portanto sinal depende da convenção, mas o módulo é esse valor.