Um corpo de 5.02 kilos é solto de uma altura de 2.8 metros acima de um segundo corpo (de igual massa), que esta preso por uma mola de rigidez de 1040 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e um amortecedor de 2.4 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, resultando em uma colisao inelastica no sentido vertical. a) Calcule o maximo deslocamento dos dois corpos após a colisao. b) Calcule a maxima aceleracao dos dois corpos que ocorre um tempo após a colisao.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá vários dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular o máximo deslocamento dos dois corpos após a colisão.
    • (b) Calcular a máxima aceleração dos dois corpos que ocorre algum tempo após a colisão.
  • Dados do enunciado:
    • Massa de cada corpo: m=5{,}02\\ \mathrm{kg}.
    • Altura de queda do corpo superior em relação ao corpo inferior: h=2{,}8\\ \mathrm{m}.
    • Rigidez da mola: k=1040\\ \mathrm{N/m}.
    • Amortecedor com coeficiente de amortecimento: c=2{,}4\\ \mathrm{Ns/m}.
    • A colisão é inelástica (assumimos colisão perfeitamente inelástica: os dois corpos ficam juntos logo após a colisão).
    • A gravidade será tomada como g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação essencial (usada depois): como a colisão é inelástica e as massas são iguais, imediatamente após a colisão elas se movem juntas com a velocidade determinada pela conservação da quantidade de movimento. Depois disso o sistema conjunto (massa total M=2m) vibra verticalmente preso à mola e ao amortecedor.

Passo 2

Primeiro passo físico: velocidade do corpo que cai imediatamente antes da colisão (queda livre).
  • Energia/queda livre: para uma queda livre sem resistência, a velocidade ao atingir o alvo vem de conservação de energia ou da fórmula de queda livre.
  • Fórmula usada: \displaystyle v=\sqrt{2 g h}.
Calculemos:
v=\sqrt{2\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}8}=\sqrt{54{,}936}\approx 7{,}414\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: essa é a velocidade com que o corpo superior atinge o corpo inferior imediatamente antes do contato.

Passo 3

Tratar a colisão inelástica entre duas massas iguais.
  • Conservação da quantidade de movimento durante a colisão (impulso interno à parte, assume-se que a mola/amortecedor não atuam significativamente durante o instante idealizado da colisão). Para colisão perfeitamente inelástica: m v + m\cdot 0 = (m+m)V_0 \quad\Rightarrow\quad V_0=\frac{v}{2}.
  • Substituindo o valor de v: V_0=\frac{7{,}414}{2}=3{,}707\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: V_0 é a velocidade inicial (imediatamente após a colisão) do conjunto formado pelos dois corpos que passam a se mover juntos para baixo.

Passo 4

Modelagem do sistema oscilatório após a colisão.
  • Massa equivalente do sistema: M=2m=2\cdot 5{,}02=10{,}04\\ \mathrm{kg}.
  • Sistema massa-mola-amortecedor linear com constantes k e c.
  • Equação de movimento (para deslocamento x(t) medido a partir da posição inicial da mola não comprimida, positivo para baixo): M \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0,com condições iniciais x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=V_0.
Agora calculamos as constantes do sistema:
  • Frequência natural não amortecida: \omega_n=\sqrt{\frac{k}{M}}=\sqrt{\frac{1040}{10{,}04}}.Calcule: \omega_n\approx \sqrt{103{,}584}\approx 10{,}1776\\ \mathrm{rad/s}.
  • Parâmetro de amortecimento \alpha (mais prático aqui): \alpha=\frac{c}{2M}=\frac{2{,}4}{2\cdot 10{,}04}=\frac{2{,}4}{20{,}08}\approx 0{,}11940\\ \mathrm{s^{-1}}.(nota: \alpha=\zeta\omega_n onde \zeta é razão de amortecimento).
  • Frequência amortecida: \omega_d=\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}\approx\sqrt{10{,}1776^2-0{,}11940^2}\approx 10{,}1768\\ \mathrm{rad/s}.
Breve didática: \omega_n diz a frequência de oscilação sem amortecimento; \alpha mede a taxa exponencial de decaimento por causa do amortecedor; quando \alpha\ll\omega_n (caso nosso), o movimento é subamortecido e as oscilações têm frequência \omega_d ligeiramente menor que \omega_n.

Passo 5

Solução analítica do movimento (caso subamortecido) com as condições iniciais dadas.
  • Forma da solução (subamortecido): x(t)=e^{-\alpha t}\left(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\right).
  • Condições iniciais: x(0)=0 \Rightarrow A=0.
\dot{x}(0)=V_0 \Rightarrow B=\frac{V_0}{\omega_d}.
  • Logo a solução torna-se x(t)=e^{-\alpha t}\frac{V_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t).
Explicação: essa forma mostra um seno amortecido — amplitude máxima das oscilações decai exponencialmente com taxa \alpha.

Passo 6

Cálculo do máximo deslocamento (primeiro pico de compressão da mola).
  • Para a solução acima, os instantes de máximo (picos) satisfazem
    \omega_d \cos(\omega_d t)-\alpha\sin(\omega_d t)=0
    (derivando x(t) e igualando a zero).
  • Isso leva a
    \tan(\omega_d t_1)=\frac{\omega_d}{\alpha}.
    O primeiro máximo positivo ocorre para
    \omega_d t_1=\arctan\!\left(\frac{\omega_d}{\alpha}\right), \qquad t_1=\frac{1}{\omega_d}\arctan\!\left(\frac{\omega_d}{\alpha}\right).
  • Valor do deslocamento nesse instante (usar identidade para \sin do ângulo encontrado):
    x_{\max}=x(t_1)=e^{-\alpha t_1}\,\frac{V_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t_1).
    Observação matemática útil: com \tan\theta=\dfrac{\omega_d}{\alpha} tem-se
    \sin(\theta)=\frac{\omega_d}{\sqrt{\alpha^2+\omega_d^2}}.
    E note que \sqrt{\alpha^2+\omega_d^2}=\omega_n. Assim a expressão simplifica para
    x_{\max}=e^{-\alpha t_1}\frac{V_0}{\omega_n}.
  • Agora substituímos numericamente:
    • V_0=3{,}707\\ \mathrm{m/s}.
    • \omega_n\approx 10{,}1776\\ \mathrm{rad/s} \Rightarrow V_0/\omega_n\approx 0{,}36440\\ \mathrm{m}.
    • \dfrac{\omega_d}{\alpha}\approx \dfrac{10{,}1768}{0{,}11940}\approx 85{,}23.
    • \arctan(85{,}23)\approx 1{,}55907\\ \mathrm{rad}.
    • t_1=\dfrac{1{,}55907}{10{,}1768}\approx 0{,}1532\\ \mathrm{s}.
    • \alpha t_1\approx 0{,}11940\cdot 0{,}1532\approx 0{,}01828.
    • e^{-\alpha t_1}\approx e^{-0{,}01828}\approx 0{,}9819.
    Portanto
    x_{\max}\approx 0{,}9819 \times 0{,}36440 \approx 0{,}3578\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o máximo deslocamento (compressão máxima da mola) é aproximadamente 0{,}358\\ \mathrm{m} para baixo a partir da posição inicial.

Passo 7

Verificação física rápida (consistência): sem amortecimento idealmente o máximo seria V_0/\omega_n\approx 0{,}3644\\ \mathrm{m}. O amortecimento pequeno reduz ligeiramente esse valor para 0{,}3578\\ \mathrm{m}. Faz sentido: amortecedor consome energia durante a compressão, reduzindo a máxima compressão.

Passo 8

Agora calculemos a máxima aceleração que ocorre algum tempo após a colisão.
  • A aceleração é \ddot{x}(t). A partir de
    x(t)=e^{-\alpha t}\frac{V_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t),
    derivando duas vezes (feito de forma direta) obtemos
    \ddot{x}(t)=\frac{V_0}{\omega_d} e^{-\alpha t}\Big[(\alpha^2-\omega_d^2)\sin(\omega_d t)-2\alpha\omega_d\cos(\omega_d t)\Big].
  • Essa expressão tem a forma \ddot{x}(t)=\dfrac{V_0}{\omega_d} e^{-\alpha t}\big(A\sin\theta + B\cos\theta\big) com A=\alpha^2-\omega_d^2, B=-2\alpha\omega_d e \theta=\omega_d t.
  • Para um dado tempo t a amplitude do termo trigonométrico é no máximo \sqrt{A^2+B^2}. Assim o valor máximo absoluto possível (envelope) para |\ddot{x}(t)| no instante t é
    \left|\ddot{x}(t)\right|_{\text{envelope}}= \frac{V_0}{\omega_d} e^{-\alpha t}\sqrt{A^2+B^2}.
  • Calculemos \sqrt{A^2+B^2}:
    A^2+B^2=(\alpha^2-\omega_d^2)^2+(2\alpha\omega_d)^2 =\omega_d^4-2\alpha^2\omega_d^2+\alpha^4+4\alpha^2\omega_d^2 =\omega_d^4+2\alpha^2\omega_d^2+\alpha^4=(\omega_d^2+\alpha^2)^2.
    Logo \sqrt{A^2+B^2}=\omega_d^2+\alpha^2.
  • Mas \omega_d^2+\alpha^2=\omega_n^2 (porque \omega_d^2=\omega_n^2-\alpha^2). Portanto
    \left|\ddot{x}(t)\right|_{\text{envelope}}=\frac{V_0}{\omega_d} e^{-\alpha t}\,\omega_n^2.
  • O envelope decai com e^{-\alpha t}, então o máximo absoluto de |\ddot{x}(t)| ao longo do tempo ocorre no instante mais cedo possível em que a combinação trigonométrica atinge a sua amplitude máxima, e esse instante está muito próximo de t=0. O valor máximo global (sobre todo t\ge 0) é, portanto, obtido tomando o envelope em t=0 (e existe um ângulo \theta próximo de zero que realiza a combinação correta):
    \left|\ddot{x}\right|_{\max}=\frac{V_0}{\omega_d}\,\omega_n^2.
  • Substituindo numericamente:
    \frac{\omega_n^2}{\omega_d}=\frac{103{,}584}{10{,}1768}\approx 10{,}1780,
    então
    \left|\ddot{x}\right|_{\max}\approx 3{,}707\cdot 10{,}1780 \approx 37{,}74\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pode-se também encontrar o instante aproximado t_a em que essa máxima aceleração ocorre. Ele satisfaz
    \omega_d t_a=\arctan\!\left(\frac{\alpha^2-\omega_d^2}{-2\alpha\omega_d}\right),
    que numericamente dá
    t_a\approx 0{,}152\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a máxima aceleração (em módulo) é aproximadamente 37{,}7\\ \mathrm{m/s^2}, ou cerca de 3{,}85\,g. O sentido é tal que a mola fornece a aceleração restauradora (ou seja, no instante do pico a mola “puxa” para cima com grande intensidade), portanto sinal depende da convenção, mas o módulo é esse valor.

Resposta

x_{\max}\approx 0{,}3578\\ \mathrm{m}
\displaystyle |\ddot{x}|_{\max}\approx 37{,}74\\ \mathrm{m/s^{2}}

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