Dada uma porta homogenea de 20.8 kilos, com 1.92 metros de altura, com 1 metro de largura, e assumindo que a mesma deva-se fechar em menos de 3 segundos (posicao angular menor do que 1 grau) quando solta de uma posicao angular de 70 graus, calcule os seguintes parametros para que a mesma se feche sem a ocorrencia de impacto. a) Rigidez torsional da mola b) Amortecedor torsional da mola.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa da porta: \,m=20{,}8\\ \mathrm{kg}.
  • Altura da porta: \,H=1{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Largura da porta (distância do eixo da dobradiça até a borda): \,L=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • A porta é homogênea (distribuição de massa uniforme).
  • Condição inicial: solta em \,70^\circ em relação à posição fechada.
  • Requisito de desempenho: ângulo menor do que \,1^\circ em menos de 3\\ \mathrm{s} após soltar.
  • Pedido: calcular
    • (a) rigidez torsional da mola (constante elástica torsional) \,k em \mathrm{N\cdot m/rad};
    • (b) amortecedor torsional (coeficiente de amortecimento) \,c em \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}.
  • Não foram fornecidos outros dados (por exemplo posição exacta da mola, atrito estático, limite de velocidade para “sem impacto”). Vou proceder com um modelo padrão e explicitar as assunções usadas durante a resolução.

Passo 2

Modelo físico e assunções (explicação didática do que vou usar).
  • Modelo: porta como corpo rígido único com rotação em torno do eixo vertical da dobradiça. A mola é uma mola torsional no eixo que produz um torque restaurador linear em ângulo: \tau_s=-k\theta. O amortecedor é viscossimétrico torsional: \tau_d=-c\dot{\theta}.
  • Equação de movimento (equivalente rotacional de um sistema massa-mola-amortecedor):
I\,\ddot{\theta} + c\,\dot{\theta} + k\,\theta = 0,
onde:
  • \,I é o momento de inércia da porta em relação à dobradiça (unidade \mathrm{kg\cdot m^2});
  • \theta(t) é o ângulo em radianos medido a partir da posição fechada ( \theta=0 quando fechada);
  • \dot{\theta} é velocidade angular ( \mathrm{rad/s});
  • \ddot{\theta} é aceleração angular ( \mathrm{rad/s^2});
  • \,k é a rigidez torsional ( \mathrm{N\cdot m/rad});
  • \,c é o coeficiente de amortecimento ( \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}).
  • Condições iniciais: \theta(0)=\theta_0=70^\circ e \dot{\theta}(0)=0.
  • Critério “sem impacto”: para evitar ultrapassagens/oscilações e ser o mais rápido possível sem bater, opta-se por projeto com amortecimento crítico ( \zeta=1). Justificativa: amortecimento crítico é o menor amortecimento que evita ultrapassagem (sem oscilações) e dá a resposta não oscilatória mais rápida; assim minimiza risco de impacto com a porta batendo. Se se desejar maior suavidade, pode-se escolher \zeta>1 (sobreamortecido), que é mais lento.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia \,I da porta (aulas rápidas sobre inércia e fórmula).
  • Para uma lâmina fina rectangular homogênea de massa \,m, largura \,L (distância perpendicular ao eixo de rotação) e altura qualquer, girando em torno de uma aresta vertical, o momento de inércia em relação à aresta é dado por (fórmula padrão / teorema dos eixos paralelos):
I=\frac{1}{3} m L^{2}.
  • Explicação curta: a massa está distribuída ao longo da largura; para uma placa fina a contribuição da altura não altera a forma \tfrac{1}{3}mL^2 quando o eixo é paralelo à altura e passa pela borda.
  • Substituindo números:
I=\frac{1}{3}\cdot 20{,}8\cdot (1{,}00)^2 = \frac{20{,}8}{3}=6{,}933333\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Parâmetros naturais do sistema e solução no caso criticamente amortecido (aula sobre resposta do segundo ordem).
  • Define-se a frequência natural não amortecida:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{I}}\quad(\mathrm{rad/s}).
  • Razão de amortecimento (damping ratio):
\zeta=\frac{c}{2\sqrt{kI}}.
  • Para amortecimento crítico \zeta=1. Neste caso a relação entre c, I e \omega_n simplifica (usar \sqrt{kI}=I\omega_n):
c=2I\omega_n.
  • Solução da equação homogênea criticamente amortecida com \theta(0)=\theta_0 e \dot{\theta}(0)=0:
\theta(t)=\theta_0(1+\omega_n t)\,e^{-\omega_n t}.
  • Objetivo: exigir \theta(3\\ \mathrm{s})\le 1^\circ. Converter graus para radianos:
\theta_0=70^\circ=\frac{70\pi}{180}\\ \mathrm{rad} \approx 1{,}221730\\ \mathrm{rad}, \qquad \theta_{\text{tol}}=1^\circ=\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx 0{,}0174533\\ \mathrm{rad}.
Observação útil: \dfrac{\theta_{\text{tol}}}{\theta_0}=\dfrac{1^\circ}{70^\circ}=\dfrac{1}{70}\approx0{,}0142857.

Passo 5

Determinar \omega_n impondo o requisito temporal (resolver a equação transcendental).
  • A condição \theta(3)\le\theta_{\text{tol}} dá:
\theta_0(1+\omega_n\cdot 3)\,e^{-\omega_n\cdot 3}\le\theta_{\text{tol}}.
  • Dividindo por \theta_0:
(1+3\omega_n)\,e^{-3\omega_n}\le\frac{1}{70}.
  • Introduzindo x=3\omega_n (para simplificar a equação):
(1+x)e^{-x}=\frac{1}{70}.
  • Esta é uma equação transcendental; resolvemos numericamente por tentativa refinada (método simples ou Newton). Fazendo testes:
    • x=6\Rightarrow (1+6)e^{-6}=7\cdot e^{-6}\approx7\cdot0{,}00247875=0{,}01735>1/70.
    • x=6{,}23\Rightarrow(1+6{,}23)e^{-6{,}23}\approx7{,}23\cdot0{,}00197\approx0{,}01425<1/70.
  • Refinando com pequena iteração de Newton (ou interpolação) obtém-se:
x\approx 6{,}2264.
  • Então
\omega_n=\frac{x}{3}\approx\frac{6{,}2264}{3}=2{,}07547\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular a rigidez torsional k usando \omega_n e I (fórmula e cálculo passo a passo).
  • A relação é \omega_n=\sqrt{k/I} então
k=I\,\omega_n^{2}.
  • Substituindo números:
\omega_n^{2}\approx (2{,}07547)^2 \approx 4{,}3065,
k=6{,}933333\cdot 4{,}3065 \approx 29{,}863\\ \mathrm{N\cdot m/rad}.
  • Arredondando de forma prática para projeto: k\approx 30\\ \mathrm{N\cdot m/rad}.

Passo 7

Calcular o coeficiente de amortecimento c para amortecimento crítico (passo a passo).
  • Para \zeta=1 temos c=2I\omega_n. Substituindo:
c=2\cdot 6{,}933333\cdot 2{,}07547 \approx 28{,}780\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}.
  • Arredondamento prático: c\approx 28{,}8\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}.

Passo 8

Interpretação final, verificação rápida e observações práticas (didática e aviso sobre suposições).
  • Valores obtidos:
    • \;k\approx 29{,}9\\ \mathrm{N\cdot m/rad}.
    • \;c\approx 28{,}8\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}.
  • Verificação rápida: com esses valores, a resposta é criticamente amortecida e satisfaz \theta(3)\le1^\circ quando \theta_0=70^\circ.
  • Observações e limites do modelo (muito importantes para a prova e para projeto real):
    1. Assumi que a mola fornece torque linear \tau=-k\theta em toda a amplitude; na prática muitas dobradiças têm não-linearidades e pré-torque.
    2. Assumi amortecimento viscoso linear; amortecedores reais têm curva de atrito/viscosidade que pode variar com velocidade.
    3. Assumi eixo na borda e porta sendo uma placa fina (usei I=\tfrac{1}{3}mL^2); se a dobradiça estiver deslocada ou houver ferragens pesadas, recalcule I.
    4. “Sem impacto” foi interpretado como não ultrapassar \theta=0 (sem oscilações) — por isso escolhi amortecimento crítico. Se houver um limite máximo de velocidade admissional ao fechar, compare \dot{\theta} próximo a zero e ajuste o amortecimento conforme necessário.
  • Se quiser, posso recalcular com uma margem de segurança (por exemplo \zeta=1{,}2) ou com limite máximo de velocidade ao fechar para garantir “sem impacto” conforme algum critério de velocidade.

Resposta

k \approx 29{,}9\\ \mathrm{N\cdot m/rad}
c \approx 28{,}8\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}

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