Dada uma porta homogenea de 20.8 kilos, com 1.92 metros de altura, com 1 metro de largura, e assumindo que a mesma deva-se fechar em menos de 3 segundos (posicao angular menor do que 1 grau) quando solta de uma posicao angular de 70 graus, calcule os seguintes parametros para que a mesma se feche sem a ocorrencia de impacto. a) Rigidez torsional da mola b) Amortecedor torsional da mola.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Massa da porta:
. - Altura da porta:
. - Largura da porta (distância do eixo da dobradiça até a borda):
. - A porta é homogênea (distribuição de massa uniforme).
- Condição inicial: solta em
em relação à posição fechada. - Requisito de desempenho: ângulo menor do que
em menos de após soltar. - Pedido: calcular
- (a) rigidez torsional da mola (constante elástica torsional)
em ; - (b) amortecedor torsional (coeficiente de amortecimento)
em .
- (a) rigidez torsional da mola (constante elástica torsional)
- Não foram fornecidos outros dados (por exemplo posição exacta da mola, atrito estático, limite de velocidade para “sem impacto”). Vou proceder com um modelo padrão e explicitar as assunções usadas durante a resolução.
Passo 2
Modelo físico e assunções (explicação didática do que vou usar).
- Modelo: porta como corpo rígido único com rotação em torno do eixo vertical da dobradiça. A mola é uma mola torsional no eixo que produz um torque restaurador linear em ângulo:
. O amortecedor é viscossimétrico torsional: . - Equação de movimento (equivalente rotacional de um sistema massa-mola-amortecedor):
onde:
-
é o momento de inércia da porta em relação à dobradiça (unidade ); -
é o ângulo em radianos medido a partir da posição fechada ( quando fechada); -
é velocidade angular ( ); -
é aceleração angular ( ); -
é a rigidez torsional ( ); -
é o coeficiente de amortecimento ( ). - Condições iniciais:
e . - Critério “sem impacto”: para evitar ultrapassagens/oscilações e ser o mais rápido possível sem bater, opta-se por projeto com amortecimento crítico (
). Justificativa: amortecimento crítico é o menor amortecimento que evita ultrapassagem (sem oscilações) e dá a resposta não oscilatória mais rápida; assim minimiza risco de impacto com a porta batendo. Se se desejar maior suavidade, pode-se escolher (sobreamortecido), que é mais lento.
Passo 3
Cálculo do momento de inércia
da porta (aulas rápidas sobre inércia e fórmula).
- Para uma lâmina fina rectangular homogênea de massa
, largura (distância perpendicular ao eixo de rotação) e altura qualquer, girando em torno de uma aresta vertical, o momento de inércia em relação à aresta é dado por (fórmula padrão / teorema dos eixos paralelos):
- Explicação curta: a massa está distribuída ao longo da largura; para uma placa fina a contribuição da altura não altera a forma
quando o eixo é paralelo à altura e passa pela borda. - Substituindo números:
Passo 4
Parâmetros naturais do sistema e solução no caso criticamente amortecido (aula sobre resposta do segundo ordem).
- Define-se a frequência natural não amortecida:
- Razão de amortecimento (damping ratio):
- Para amortecimento crítico
. Neste caso a relação entre , e simplifica (usar ):
- Solução da equação homogênea criticamente amortecida com
e :
- Objetivo: exigir
. Converter graus para radianos:
Observação útil:
.
Passo 5
Determinar
impondo o requisito temporal (resolver a equação transcendental).
- A condição
dá:
- Dividindo por
:
- Introduzindo
(para simplificar a equação):
- Esta é uma equação transcendental; resolvemos numericamente por tentativa refinada (método simples ou Newton). Fazendo testes:
-
. -
.
-
- Refinando com pequena iteração de Newton (ou interpolação) obtém-se:
- Então
Passo 6
Calcular a rigidez torsional
usando
e
(fórmula e cálculo passo a passo).
- A relação é
então
- Substituindo números:
- Arredondando de forma prática para projeto:
.
Passo 7
Calcular o coeficiente de amortecimento
para amortecimento crítico (passo a passo).
- Para
temos . Substituindo:
- Arredondamento prático:
.
Passo 8
Interpretação final, verificação rápida e observações práticas (didática e aviso sobre suposições).
- Valores obtidos:
-
. -
.
-
- Verificação rápida: com esses valores, a resposta é criticamente amortecida e satisfaz
quando . - Observações e limites do modelo (muito importantes para a prova e para projeto real):
- Assumi que a mola fornece torque linear
em toda a amplitude; na prática muitas dobradiças têm não-linearidades e pré-torque. - Assumi amortecimento viscoso linear; amortecedores reais têm curva de atrito/viscosidade que pode variar com velocidade.
- Assumi eixo na borda e porta sendo uma placa fina (usei
); se a dobradiça estiver deslocada ou houver ferragens pesadas, recalcule . - “Sem impacto” foi interpretado como não ultrapassar
(sem oscilações) — por isso escolhi amortecimento crítico. Se houver um limite máximo de velocidade admissional ao fechar, compare próximo a zero e ajuste o amortecimento conforme necessário.
- Assumi que a mola fornece torque linear
- Se quiser, posso recalcular com uma margem de segurança (por exemplo
) ou com limite máximo de velocidade ao fechar para garantir “sem impacto” conforme algum critério de velocidade.