Assuming both simplifications, find the non-dimensional pitch of a helical vortex filament (pitch normalized by the radius) in terms of the tip speed ratio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o pitch não-dimensional de um filamento de vórtice helicoidal, que é basicamente o pitch dividido pelo raio, em termos da razão de velocidade da ponta. Isso envolve conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente sobre vórtices helicoidais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o pitch e a velocidade da ponta estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o pitch de uma hélice. O pitch é a distância que a hélice avança em uma volta completa. No caso de um filamento de vórtice helicoidal, isso representa a distância que o vórtice percorre axialmente em uma volta.

Passo 3

A razão de velocidade da ponta (tip speed ratio) é a relação entre a velocidade tangencial na ponta da hélice e a velocidade do vento (ou outro fluxo de referência). Vamos chamar essa razão de lambda.
lambda = vpontavfluxo

Passo 4

Agora, queremos expressar o pitch não-dimensional $ P^* $ em termos de P^* . O pitch não-dimensional é dado por:
lambda
onde $ P $ é o pitch e $ R $ é o raio da hélice.

Passo 5

Relacionando a velocidade da ponta $ v_{ponta} $ com o pitch e o período de rotação $ T $:
vponta
E a velocidade do fluxo $ v_{fluxo} $ é:
T

Passo 6

Substituindo $ v_{ponta} $ e $ v_{fluxo} $ na expressão da razão de velocidade da ponta:
vponta

Passo 7

Agora, resolvemos para $ \frac{P}{R} $:
PR

Resposta

Então, o pitch não-dimensional $ P^* $ em termos da razão de velocidade da ponta P^* é:
lambda

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