Assuming both simplifications, find the non-dimensional pitch of a helical vortex filament (pitch normalized by the radius) in terms of the tip speed ratio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o pitch não-dimensional de um filamento de vórtice helicoidal, que é basicamente o pitch dividido pelo raio, em termos da razão de velocidade da ponta. Isso envolve conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente sobre vórtices helicoidais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o pitch e a velocidade da ponta estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o pitch de uma hélice. O pitch é a distância que a hélice avança em uma volta completa. No caso de um filamento de vórtice helicoidal, isso representa a distância que o vórtice percorre axialmente em uma volta.
Passo 3
A razão de velocidade da ponta (tip speed ratio) é a relação entre a velocidade tangencial na ponta da hélice e a velocidade do vento (ou outro fluxo de referência). Vamos chamar essa razão de
.
Passo 4
Agora, queremos expressar o pitch não-dimensional $ P^* $ em termos de
. O pitch não-dimensional é dado por:
onde $ P $ é o pitch e $ R $ é o raio da hélice.
Passo 5
Relacionando a velocidade da ponta $ v_{ponta} $ com o pitch e o período de rotação $ T $:
E a velocidade do fluxo $ v_{fluxo} $ é:
Passo 6
Substituindo $ v_{ponta} $ e $ v_{fluxo} $ na expressão da razão de velocidade da ponta:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ \frac{P}{R} $:
Resposta
Então, o pitch não-dimensional $ P^* $ em termos da razão de velocidade da ponta
é: