What is the average azimuthal velocity utheta for the Joukowski rotor, in function of the total circulation and the radial position?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a velocidade azimutal média, representada por $ \mathrm{u}_{\theta} $, para o rotor de Joukowski. Isso envolve conceitos de aerodinâmica e teoria de fluxo potencial, especificamente relacionados à circulação total e à posição radial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é circulação, como ela se relaciona com a velocidade no fluxo ao redor de um rotor e como aplicar essas ideias para encontrar a expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação ($ \Gamma $) é uma medida do movimento rotacional do fluido em torno de um ponto. Matematicamente, é definida como a integral da velocidade tangencial ao redor de um caminho fechado:
Gamma
No caso do rotor de Joukowski, que é um modelo clássico usado para estudar a aerodinâmica de asas e rotores, a circulação está relacionada à geração de sustentação e à velocidade ao redor do rotor.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a circulação com a velocidade azimutal média. No fluxo circular ao redor de um rotor, assumimos que a velocidade depende apenas da posição radial $ r $ e é tangencial, ou seja, na direção azimutal $ \theta $. A circulação pode ser expressa em termos da velocidade azimutal média $ \mathrm{u}_{\theta} $ da seguinte forma:
r
Aqui, $ d\ell $ é o elemento de comprimento ao longo do caminho fechado, que em coordenadas polares é $ r , d\theta $.

Passo 4

Como o rotor é simétrico e a velocidade azimutal é constante ao longo do caminho circular de raio $ r $, podemos simplificar a integral:
r
Sabemos que a integral de $ d\theta $ ao redor de um círculo completo é $ 2\pi $. Portanto:
Gamma = utheta oint r , dtheta = utheta cdot r cdot oint dtheta

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ \mathrm{u}{\theta} $ em função da circulação total $ \Gamma $ e da posição radial $ r $. Vamos isolar $ \mathrm{u}{\theta} $ na equação acima:
utheta

Resposta

A velocidade azimutal média para o rotor de Joukowski é dada por:
utheta = Gamma2pi r
Onde:
  • $ \mathrm{u}_{\theta} $ é a velocidade azimutal média,
  • $ \Gamma $ é a circulação total,
  • $ r $ é a posição radial.

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