Um asteroide está em rota de colisão com a Terra. Quando estava a uma distância de 11 raios terrestres do centro da Terra, sua velocidade era de 13 km/s. Desprezando os efeitos da atmosfera, determine a velocidade do asteroide ao atingir a superfície.
Dados: massa da terra é
; raio da terra é
Dados: massa da terra é
Passo 1
O enunciado pede a velocidade do asteroide ao atingir a superfície da Terra. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado):
a distância inicial do centro da Terra é
raios terrestres, isto é
,
e a velocidade nessa posição era (vou converter depois para SI).
A pergunta é: qual é a velocidade do asteroide ao atingir a superfície (desprezando atmosfera)?
e a velocidade nessa posição era
A pergunta é: qual é a velocidade
Passo 2
Vamos usar conservação da energia mecânica (muito útil neste tipo de problema): a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional se conserva se não há dissipação (a atmosfera foi desprezada).
Escrevendo isso entre a posição inicial (subíndice ) e a final na superfície (subíndice
):
Escrevendo isso entre a posição inicial (subíndice
Aqui:
-
é a massa do asteroide (vai se cancelar), -
é a constante gravitacional universal, -
é a massa da Terra, -
é a distância inicial ao centro da Terra, -
é o raio da Terra, -
e são as velocidades inicial e final respectivamente.
Isolando(e cancelando ):
Multiplicando por
:
Essa é a fórmula que vamos calcular.
Passo 3
Primeiro, converto unidades e expresso
:
Passo 4
Usarei a constante gravitacional
. Tomando
, calculo
:
(Expliquei: multipliquei os coeficientes e somei expoentes,
.)
Passo 5
Observe uma simplificação conveniente porque
:
Portanto
Passo 6
Calculo agora
. Uma forma rápida de checar é lembrar que
e
, mas vou calcular diretamente:
Agora multiplico por
:
Passo 7
Volto à fórmula de
:
Substituindo
e o termo calculado:
Tirando a raiz:
Convertendo para km/s:
Passo 8
Interpretação curta (só para te dar confiança): a velocidade aumentou de
para cerca de
por causa da aceleração gravitacional ao descer de
até a superfície. O método é conservador de energia e é padrão para quedas gravitacionais sem resistência.