Um asteroide está em rota de colisão com a Terra. Quando estava a uma distância de 11 raios terrestres do centro da Terra, sua velocidade era de 13 km/s. Desprezando os efeitos da atmosfera, determine a velocidade do asteroide ao atingir a superfície.
Dados: massa da terra é 5,99 \times 10^{24} \mathrm{~kg}; raio da terra é 6,371 \times 10^{6} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do asteroide ao atingir a superfície da Terra. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado):
M_{\text{Terra}}=5{,}99\times10^{24}\\ \mathrm{kg},
R_{\text{Terra}}=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m},
a distância inicial do centro da Terra é 11 raios terrestres, isto é r_i=11R_{\text{Terra}},
e a velocidade nessa posição era v_i=13\\ \mathrm{km/s} (vou converter depois para SI).
A pergunta é: qual é a velocidade v_f do asteroide ao atingir a superfície (desprezando atmosfera)?

Passo 2

Vamos usar conservação da energia mecânica (muito útil neste tipo de problema): a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional se conserva se não há dissipação (a atmosfera foi desprezada).
Escrevendo isso entre a posição inicial (subíndice i) e a final na superfície (subíndice f):
\frac{1}{2}m v_i^{2} - \frac{G M m}{r_i} = \frac{1}{2}m v_f^{2} - \frac{G M m}{R_{\text{Terra}}}.
Aqui:
  • m é a massa do asteroide (vai se cancelar),
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa da Terra,
  • r_i é a distância inicial ao centro da Terra,
  • R_{\text{Terra}} é o raio da Terra,
  • v_i e v_f são as velocidades inicial e final respectivamente.
    Isolando v_f (e cancelando m):
\frac{1}{2}v_f^{2} = \frac{1}{2}v_i^{2} + G M\!\left(\frac{1}{R_{\text{Terra}}}-\frac{1}{r_i}\right).
Multiplicando por 2:
v_f^{2} = v_i^{2} + 2 G M\!\left(\frac{1}{R_{\text{Terra}}}-\frac{1}{r_i}\right).
Essa é a fórmula que vamos calcular.

Passo 3

Primeiro, converto unidades e expresso r_i:
v_i = 13\\ \mathrm{km/s} = 13{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} = 1{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
r_i = 11 R_{\text{Terra}} = 11\times6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 7{,}0081\times10^{7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Usarei a constante gravitacional G. Tomando G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}}, calculo G M:
G M = 6{,}67430\times10^{-11}\times5{,}99\times10^{24} =3{,}9979057\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}.
(Expliquei: multipliquei os coeficientes e somei expoentes, -11+24=13.)

Passo 5

Observe uma simplificação conveniente porque r_i=11R_{\text{Terra}}:
\frac{1}{R_{\text{Terra}}}-\frac{1}{r_i}=\frac{1}{R_{\text{Terra}}}-\frac{1}{11R_{\text{Terra}}} =\frac{10}{11}\cdot\frac{1}{R_{\text{Terra}}}.
Portanto
2GM\!\left(\frac{1}{R_{\text{Terra}}}-\frac{1}{r_i}\right) =2GM\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{1}{R_{\text{Terra}}} =\frac{20}{11}\cdot\frac{GM}{R_{\text{Terra}}}.

Passo 6

Calculo agora \dfrac{GM}{R_{\text{Terra}}}. Uma forma rápida de checar é lembrar que g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e GM/R=gR, mas vou calcular diretamente:
\frac{GM}{R_{\text{Terra}}}=\frac{3{,}9979057\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}} \approx6{,}24995\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora multiplico por \dfrac{20}{11}:
\frac{20}{11}\cdot\frac{GM}{R_{\text{Terra}}}\approx\frac{20}{11}\times6{,}24995\times10^{7} \approx1{,}13633\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 7

Volto à fórmula de v_f^{2}:
v_f^{2} = v_i^{2} + \frac{20}{11}\cdot\frac{GM}{R_{\text{Terra}}}.
Substituindo v_i^{2}=(1{,}30\times10^{4})^{2}=1{,}69\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}} e o termo calculado:
v_f^{2}\approx1{,}69\times10^{8}+1{,}13633\times10^{8}=2{,}82633\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tirando a raiz:
v_f\approx\sqrt{2{,}82633\times10^{8}}\approx1{,}68\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/s:
v_f\approx16{,}8\\ \mathrm{km/s}.

Passo 8

Interpretação curta (só para te dar confiança): a velocidade aumentou de 13{,}0\\ \mathrm{km/s} para cerca de 16{,}8\\ \mathrm{km/s} por causa da aceleração gravitacional ao descer de 11R até a superfície. O método é conservador de energia e é padrão para quedas gravitacionais sem resistência.

Resposta

v_f\approx1{,}68\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} (16{,}8\\ \mathrm{km/s})

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