Para o mesmo sistema de partículas do exercício anterior, determine a) a posição do centro de massa G. b) A quantidade de movimento linear do centro de massa G. c) A quantidade de movimento angular, \mathrm{H}_{\mathrm{G}}, do sistema em relação à G .

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o sistema de partículas da figura:
a) a posição do centro de massa G do sistema;
b) a quantidade de movimento linear do centro de massa G (ou seja, o momento linear total do sistema);
c) a quantidade de movimento angular \mathrm{H}_{G} do sistema em relação ao ponto G.
Informações visíveis na figura (que eu realmente peguei da imagem):
  • Há três partículas identificadas por A, B e C.
  • A partir da figura, eu consigo ler com confiança que OC = 3{,}6\\ \text{m} ao longo do eixo x (ou seja, a projeção de C no eixo x está a 3{,}6\\ \text{m} de O). Eu também vejo que OA = 3{,}0\\ \text{m} ao longo do eixo y. (Esses dois comprimentos eu peguei da imagem.)
  • A figura mostra direções das velocidades \mathbf{v}_A, \mathbf{v}_B e \mathbf{v}_C, mas NÃO há indicados números (módulos) para essas velocidades — só as direções.
  • Não há, na informação que você me mandou, os valores das massas das partículas m_A, m_B, m_C.
  • Como consequência: os valores numéricos das massas e os módulos (e, se necessário, componentes) das velocidades NÃO foram fornecidos, e sem eles não é possível calcular numericamente as quantidades pedidas.
Conclusão deste passo: sei o que o problema pede e quais dados a figura fornece, e tenho que dizer com clareza que faltam dados essenciais (massas e magnitudes/ componentes das velocidades). A partir daqui eu mostro passo a passo o método (fórmulas e procedimento) que você deve aplicar para obter (a), (b) e (c) assim que tiver os valores numéricos completos.

Passo 2

Primeiro: método para achar a posição do centro de massa G de um sistema discreto de partículas.
Teoria e fórmula (explicada devagarinho):
  • Se temos partículas i=1,\dots,n com massas m_i e vetores posição \mathbf{r}_i (em relação a um ponto de referência, aqui o ponto O), o centro de massa \mathbf{r}_G é a média ponderada das posições pelas massas. A fórmula é
\mathbf{r}_G=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\,\mathbf{r}_i,
onde
M=\sum_i m_i
é a massa total do sistema.
  • Interpretação componente a componente: se escrevemos \mathbf{r}_i=(x_i,y_i,z_i) e \mathbf{r}_G=(x_G,y_G,z_G), então
x_G=\frac{m_A x_A+m_B x_B+m_C x_C}{M},\qquad y_G=\frac{m_A y_A+m_B y_B+m_C y_C}{M},\qquad z_G=\frac{m_A z_A+m_B z_B+m_C z_C}{M}.
  • Passos práticos para a prova:
    1. Identifique um sistema de coordenadas (a figura já dá O e eixos x,y,z).
    2. Leia (ou calcule) as coordenadas (x_i,y_i,z_i) de cada partícula em relação a O. (Se a figura dá distâncias projetadas, transforme em coordenadas; se um ponto está sobre um eixo, algumas componentes são zero.)
    3. Calcule M.
    4. Substitua na fórmula acima e obtenha x_G,y_G,z_G.
Observação importante para esta questão: eu não tenho os valores numéricos de m_A,m_B,m_C nem das componentes numéricas das velocidades; portanto aqui eu deixo as expressões gerais. Assim que você souber as massas e as coordenadas precisas lidas da figura, é só aplicar as fórmulas acima e obter \mathbf{r}_G.

Passo 3

Exemplo didático (mini-aula aplicada) — como montar as coordenadas das partículas a partir da figura:
  • Suponha que a origem O esteja no canto mostrado e que os eixos sejam: x para a direita, y para cima e z “para dentro/para fora” (convenção da figura).
  • Para cada partícula você determina (x_i,y_i,z_i) observando as distâncias: por exemplo, se um ponto C está exatamente sobre o eixo x a 3{,}6\\ \text{m} de O, então
\text{(se for este o caso)}\qquad \mathbf{r}_C=(3{,}6,\\\ 0,\\\ 0)\\ \text{m}.
  • Se A está sobre o eixo y a 3{,}0\\ \text{m} de O, então
\mathbf{r}_A=(0,\\\ 3{,}0,\\\ 0)\\ \text{m}.
  • Para B você faria o mesmo, lendo os deslocamentos em x,y,z a partir do ponto O usando as distâncias mostradas na figura (por exemplo, a altura, a profundidade e a distância horizontal que a figura indica).
  • Depois, com essas coordenadas e com m_A,m_B,m_C conhecidas, você calcula x_G,y_G,z_G pela fórmula do Passo 2.
Nota: eu escrevi exemplos de coordenadas somente para ilustrar o procedimento; se a sua figura tiver alguma pequena projeção (por exemplo, A deslocado em z também), ajuste as componentes de acordo — sempre transforme as distâncias projetadas em componentes cartesianas.

Passo 4

Quantidade de movimento linear (momento linear) do sistema — teoria e procedimento.
Fórmulas e explicação:
  • A quantidade de movimento linear (momento linear) total do sistema é o somatório dos momentos lineares das partículas:
\mathbf{P}=\sum_i m_i\,\mathbf{v}_i.
  • Existe uma relação simples entre \mathbf{P} e o centro de massa: \mathbf{P}=M\,\mathbf{v}_G, onde \mathbf{v}_G é a velocidade do centro de massa. Isso é útil: se você conhece as velocidades individuais, calcule \mathbf{P} diretamente; se preferir, primeiro calcule \mathbf{v}_G por \mathbf{v}_G=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{v}_i e então multiplique por M.
  • Componentes:
P_x = m_A v_{Ax}+m_B v_{Bx}+m_C v_{Cx},\quad\text{etc.}
  • Passos para a prova:
    1. Obtenha as componentes (v_{ix},v_{iy},v_{iz}) de cada velocidade \mathbf{v}_i. Se só tiver módulo e direção, decomponha com seno/cosseno.
    2. Multiplique por cada massa m_i e some componente a componente.
    3. O vetor \mathbf{P} resultante é a quantidade de movimento linear do sistema; a velocidade do centro de massa é \mathbf{v}_G=\mathbf{P}/M.
Novamente: na figura as direções das velocidades estão mostradas, mas não os módulos; por isso não posso dar \mathbf{P} numérico sem esses módulos e sem as massas.

Passo 5

Quantidade de movimento angular \mathrm{H}_{G} do sistema em relação a G — teoria, interpretação e como calcular passo a passo.
Fórmulas essenciais e explicações detalhadas:
  • Por definição, a quantidade de movimento angular do sistema em relação a um ponto P é
\mathbf{H}_P=\sum_i \mathbf{r}_{iP}\times m_i\mathbf{v}_i,
onde \mathbf{r}_{iP}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_P é o vetor posição da partícula i relativo a P.
  • Em particular, em relação ao centro de massa G:
\mathbf{H}_G=\sum_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_G)\times m_i\mathbf{v}_i.
  • Uma identidade prática muito útil (que dá menos trabalho às vezes) é relacionar o momento angular em G ao momento angular em O e ao momento linear total:
\mathbf{H}_G=\mathbf{H}_O-\mathbf{r}_G\times\mathbf{P},
onde
\mathbf{H}_O=\sum_i \mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i
e \mathbf{P}=\sum_i m_i\mathbf{v}_i. Essa relação vem de expandir \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_G e agrupar termos.
  • Como calcular na prática (passo a passo para a prova):
    1. Determine \mathbf{r}_G (Passos 2–3) e \mathbf{P} (Passo 4).
    2. Calcule \mathbf{H}_O=\sum \mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i. Para cada partícula, calcule o produto vetorial usando a matriz determinante:
    \mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x_i & y_i & z_i \\\ m_i v_{ix} & m_i v_{iy} & m_i v_{iz} \end{vmatrix}.
    1. Então use \mathbf{H}_G=\mathbf{H}_O-\mathbf{r}_G\times\mathbf{P}. Esse método evita ter de recalcular \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_G para cada partícula (às vezes menos trabalho).
  • Interpretação física: \mathbf{H}_G mede “quanto o sistema está girando” em torno do centro de massa, combinando posições relativas e velocidades.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) — para você ver como tudo se encaixa. Atenção: os números a seguir são só um exemplo didático, NÃO são tirados da sua figura porque as massas e as magnitudes das velocidades não foram fornecidas.
Suponha hipoteticamente:
m_A=2\\ \text{kg},\\ m_B=3\\ \text{kg},\\ m_C=5\\ \text{kg}.
E suponha que, lendo a figura, obtemos as posições (apenas exemplo):
\mathbf{r}_A=(0,\\\ 3{,}0,\\\ 0)\\ \text{m},\\ \mathbf{r}_B=(-1{,}2,\\\ 2{,}4,\\\ -3{,}0)\\ \text{m},\\ \mathbf{r}_C=(3{,}6,\\\ 0,\\\ 0)\\ \text{m}.
E suponha velocidades (apenas exemplo) em componentes:
\mathbf{v}_A=( -1{,}0,\\\ -0{,}5,\\\ 0)\\ \text{m/s},\\ \mathbf{v}_B=(0{,}5,\\\ 0{,}2,\\\ 0{,}1),\\ \mathbf{v}_C=(0{,}8,\\\ -0{,}1,\\\ 0).
Procedimento (com esses números):
  1. Massa total M=2+3+5=10\\ \text{kg}.
  2. Centro de massa:
x_G=\frac{2\cdot 0 + 3\cdot(-1{,}2) +5\cdot 3{,}6}{10},\quad y_G=\frac{2\cdot 3{,}0 +3\cdot 2{,}4 +5\cdot 0}{10},\quad z_G=\frac{2\cdot 0 +3\cdot(-3{,}0) +5\cdot 0}{10}.
Calcule cada fração para obter (x_G,y_G,z_G). (Esse passo é direto aritmética.)
3. Quantidade de movimento linear:
\mathbf{P}=2\mathbf{v}_A+3\mathbf{v}_B+5\mathbf{v}_C
calcule componente a componente. Então \mathbf{v}_G=\mathbf{P}/M.
4. Momento angular em relação a O:
calcule \mathbf{H}_O=\sum \mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i usando determinantes.
5. Finalmente \mathbf{H}_G=\mathbf{H}_O-\mathbf{r}_G\times\mathbf{P}.
Esse exemplo mostra a sequência e como aplicar operações vetoriais e aritmética. Na prova faça exatamente assim, substituindo os valores verdadeiros.

Passo 7

Resumo do que você tem que fazer agora (resumindo o algoritmo de resolução para a prova):
  1. Leia cuidadosamente da figura as coordenadas \mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_C (componentes x,y,z). Se houver dúvida numa projeção, anote essa incerteza e consulte o enunciado/figura original.
  2. Anote as massas m_A,m_B,m_C. (Se não vierem no enunciado, peça — sem massas não há resposta numérica.)
  3. Anote as velocidades \mathbf{v}_A,\mathbf{v}_B,\mathbf{v}_C em componentes (use trigonometria se só vier módulo+ângulo).
  4. Calcule M e em seguida \mathbf{r}_G por \mathbf{r}_G=\dfrac{1}{M}\sum m_i\mathbf{r}_i.
  5. Calcule \mathbf{P}=\sum m_i\mathbf{v}_i (que também dá \mathbf{v}_G=\mathbf{P}/M).
  6. Calcule \mathbf{H}_O=\sum \mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i e use \mathbf{H}_G=\mathbf{H}_O-\mathbf{r}_G\times\mathbf{P} para obter o momento angular em relação a G.
  7. Faça todos os produtos vetoriais com atenção ao cálculo componente a componente (determinante) e organize os cálculos em colunas para evitar erros.

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos de (a), (b) e (c) porque as massas m_A,m_B,m_C e os módulos (ou componentes) das velocidades \mathbf{v}_A,\mathbf{v}_B,\mathbf{v}_C não foram fornecidos na figura/enunciado recebido.

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