Um cano com um diâmetro interno de 3.5 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 170 kPa. Se o cano se estreita para 1,5 \mathrm{~cm} e sobe para o segundo piso 7.0 m acima do ponto de entrada, quais são a velocidade e a pressão da água no segundo piso?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
Temos um cano com diâmetro interno inicial d_1 que transporta água com velocidade e pressão conhecidas no ponto de entrada (porão). O cano estreita para um segundo diâmetro d_2 e nesse ponto (segundo piso) o trecho está a uma altura de 7{,}0\\ \mathrm{m} acima do ponto de entrada. O problema pede a velocidade e a pressão da água no segundo piso.\n
Dados numéricos fornecidos:\n
d_1 = 3{,}5\\ \mathrm{cm} (peguei do enunciado)\n
d_2 = 1{,}5\\ \mathrm{cm} (peguei do enunciado)\n
v_1 = 0{,}80\\ \mathrm{m/s} (velocidade no porão, pegado do enunciado)\n
p_1 = 170\\ \mathrm{kPa} (pressão no porão, pegado do enunciado)\n
z_2 - z_1 = 7{,}0\\ \mathrm{m} (elevação do segundo piso em relação ao ponto de entrada, pegado do enunciado)\n
Constantes físicas que usaremos (valores típicos, assumidos automaticamente):\n
densidade da água \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\n
aceleração da gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\n
O que o enunciado pede explicitamente:\n
  1. Calcular a velocidade \,v_2 da água no segundo piso.\n
  2. Calcular a pressão \,p_2 da água no segundo piso.\n

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) — explicação didática:\n
Quando um fluido incompressível (como a água, para velocidades típicas de encanamento) flui por um tubo de diferentes seções, a massa que entra por segundo em uma seção deve ser igual à massa que sai por segundo na outra seção. Para área de seção transversal A e velocidade média v, a vazão volumétrica é Q = A v. Como a água é incompressível, Q é constante ao longo do tubo.\n
Fórmula da continuidade que vamos usar:\n
A_1 v_1 = A_2 v_2
onde:\n
A_1 é a área da seção inicial,\n
v_1 é a velocidade inicial (dada),\n
A_2 é a área da seção final,\n
v_2 é a velocidade final (desconhecida).\n
Como a área de um tubo circular é A=\dfrac{\pi d^2}{4}, ao substituir isso na igualdade, o fator \pi/4 cancela, ficando:\n
v_2 = v_1 \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2.
Essa fórmula é muito prática: a velocidade escala com o quadrado da razão dos diâmetros.

Passo 3

Aplicando a continuidade aos números do problema (cálculo de \,v_2):\n
Primeiro colocamos os diâmetros em metros:\n
d_1 = 3{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}035\\ \mathrm{m}, \qquad d_2 = 1{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}015\\ \mathrm{m}.\n
Agora aplicamos a fórmula da continuidade:
v_2 = v_1 \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2.\n
Substituindo valores:
v_2 = 0{,}80\\ \mathrm{m/s}\times\left(\dfrac{0{,}035}{0{,}015}\right)^2.\n
Calcule a razão e o quadrado passo a passo:\n
\dfrac{0{,}035}{0{,}015} = \dfrac{35}{15} = \dfrac{7}{3}\approx 2{,}333333,\n
\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{49}{9}\approx 5{,}444444.\n
Logo
v_2 = 0{,}80\times 5{,}444444\approx 4{,}3555556\\ \mathrm{m/s}.\n
Arredondando razoavelmente para a prova (duas casas decimais é comum):
v_2 \approx 4{,}36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Enunciando o princípio de Bernoulli (explicação didática):\n
Para um fluido incompressível e em escoamento sem perdas significativas de energia por atrito (hipótese usual em exercícios básicos), a soma da pressão estática, da energia cinética por volume e da energia potencial por volume é constante ao longo de uma linha de corrente. Em forma matemática entre dois pontos 1 e 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2.
Aqui:\n
p é a pressão estática (Pa),\n
\rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),\n
v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),\n
z é a cota vertical (m),\n
g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).\n
No exercício conhecemos p_1, v_1, v_2 (o último calculado) e a diferença de altura z_2-z_1; com isso podemos isolar p_2.\n
Rearranjando para obter p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(z_1 - z_2\right).
Note que z_1-z_2 = - (z_2-z_1), então se o ponto 2 está acima, esse termo reduz a pressão (energia potencial maior).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos na fórmula de Bernoulli (cálculo detalhado de p_2):\n
Dados para substituir (em unidades SI):\n
p_1 = 170\\ \mathrm{kPa} = 170000\\ \mathrm{Pa}, \qquad \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \qquad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\n
v_1 = 0{,}80\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_2 \approx 4{,}3555556\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{do Passo 3}), \qquad z_2 - z_1 = 7{,}0\\ \mathrm{m}.\n
Calcule v_1^2 - v_2^2 passo a passo:\n
v_1^2 = (0{,}80)^2 = 0{,}64\\ \mathrm{(m^2/s^2)},\n
v_2^2 \approx (4{,}3555556)^2 \approx 18{,}970864\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.\n
Portanto
v_1^2 - v_2^2 \approx 0{,}64 - 18{,}970864 \approx -18{,}330864\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.\n
Agora calcule o termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = \tfrac{1}{2}\times 1000 \times (-18{,}330864) \approx -9\,165{,}43\\ \mathrm{Pa}.\n
E o termo de elevação:
\rho g (z_1 - z_2) = 1000\times 9{,}81 \times ( -7{,}0 ) = -68\,670\\ \mathrm{Pa}.\n
Agora somamos tudo para obter p_2:
p_2 = 170000 + (-9\,165{,}43) + (-68\,670) \approx 92\,164{,}57\\ \mathrm{Pa}.\n
Convertendo para kilopascais e arredondando:
p_2 \approx 92{,}16\\ \mathrm{kPa} \approx 92{,}2\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem (didática curta):\n
A pressão caiu do porão para o segundo piso por dois efeitos somados: aumento da energia cinética (o fluido acelera ao entrar no trecho mais estreito) que reduz a pressão, e ganho de energia potencial (subida de 7{,}0\\ \mathrm{m}) que também reduz a pressão. O resultado ainda é uma pressão positiva e razoável para um sistema residencial: cerca de 92\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

v_2 \approx 4{,}36\\ \mathrm{m/s}\n
p_2 \approx 92{,}2\\ \mathrm{kPa}

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