Um cano com um diâmetro interno de 3.5 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de
com uma pressão de 170 kPa. Se o cano se estreita para
e sobe para o segundo piso 7.0 m acima do ponto de entrada, quais são a velocidade e a pressão da água no segundo piso?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
Temos um cano com diâmetro interno inicial que transporta água com velocidade e pressão conhecidas no ponto de entrada (porão). O cano estreita para um segundo diâmetro
e nesse ponto (segundo piso) o trecho está a uma altura de
acima do ponto de entrada. O problema pede a velocidade e a pressão da água no segundo piso.\n
Dados numéricos fornecidos:\n
(peguei do enunciado)\n
(peguei do enunciado)\n
(velocidade no porão, pegado do enunciado)\n
(pressão no porão, pegado do enunciado)\n
(elevação do segundo piso em relação ao ponto de entrada, pegado do enunciado)\n
Constantes físicas que usaremos (valores típicos, assumidos automaticamente):\n
densidade da água \n
aceleração da gravidade \n
O que o enunciado pede explicitamente:\n
Temos um cano com diâmetro interno inicial
Dados numéricos fornecidos:\n
Constantes físicas que usaremos (valores típicos, assumidos automaticamente):\n
densidade da água
aceleração da gravidade
O que o enunciado pede explicitamente:\n
- Calcular a velocidade
da água no segundo piso.\n - Calcular a pressão
da água no segundo piso.\n
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) — explicação didática:\n
Quando um fluido incompressível (como a água, para velocidades típicas de encanamento) flui por um tubo de diferentes seções, a massa que entra por segundo em uma seção deve ser igual à massa que sai por segundo na outra seção. Para área de seção transversal e velocidade média
, a vazão volumétrica é
. Como a água é incompressível,
é constante ao longo do tubo.\n
Fórmula da continuidade que vamos usar:\n
Quando um fluido incompressível (como a água, para velocidades típicas de encanamento) flui por um tubo de diferentes seções, a massa que entra por segundo em uma seção deve ser igual à massa que sai por segundo na outra seção. Para área de seção transversal
Fórmula da continuidade que vamos usar:\n
onde:\n
é a área da seção inicial,\n
é a velocidade inicial (dada),\n
é a área da seção final,\n
é a velocidade final (desconhecida).\n
Como a área de um tubo circular é , ao substituir isso na igualdade, o fator
cancela, ficando:\n
Como a área de um tubo circular é
Essa fórmula é muito prática: a velocidade escala com o quadrado da razão dos diâmetros.
Passo 3
Aplicando a continuidade aos números do problema (cálculo de
):\n
Primeiro colocamos os diâmetros em metros:\n
Primeiro colocamos os diâmetros em metros:\n
Agora aplicamos a fórmula da continuidade:
Substituindo valores:
Calcule a razão e o quadrado passo a passo:\n
Logo
Arredondando razoavelmente para a prova (duas casas decimais é comum):
Passo 4
Enunciando o princípio de Bernoulli (explicação didática):\n
Para um fluido incompressível e em escoamento sem perdas significativas de energia por atrito (hipótese usual em exercícios básicos), a soma da pressão estática, da energia cinética por volume e da energia potencial por volume é constante ao longo de uma linha de corrente. Em forma matemática entre dois pontos e
:
Para um fluido incompressível e em escoamento sem perdas significativas de energia por atrito (hipótese usual em exercícios básicos), a soma da pressão estática, da energia cinética por volume e da energia potencial por volume é constante ao longo de uma linha de corrente. Em forma matemática entre dois pontos
Aqui:\n
é a pressão estática (Pa),\n
é a densidade do fluido (
),\n
é a velocidade média (
),\n
é a cota vertical (m),\n
é a aceleração da gravidade (
).\n
No exercício conhecemos (o último calculado) e a diferença de altura
; com isso podemos isolar
.\n
Rearranjando para obter :
No exercício conhecemos
Rearranjando para obter
Note que
, então se o ponto 2 está acima, esse termo reduz a pressão (energia potencial maior).
Passo 5
Substituindo os valores numéricos na fórmula de Bernoulli (cálculo detalhado de
):\n
Dados para substituir (em unidades SI):\n
Dados para substituir (em unidades SI):\n
Calcule
passo a passo:\n
Portanto
Agora calcule o termo cinético:
E o termo de elevação:
Agora somamos tudo para obter
:
Convertendo para kilopascais e arredondando:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem (didática curta):\n
A pressão caiu do porão para o segundo piso por dois efeitos somados: aumento da energia cinética (o fluido acelera ao entrar no trecho mais estreito) que reduz a pressão, e ganho de energia potencial (subida de ) que também reduz a pressão. O resultado ainda é uma pressão positiva e razoável para um sistema residencial: cerca de
.
A pressão caiu do porão para o segundo piso por dois efeitos somados: aumento da energia cinética (o fluido acelera ao entrar no trecho mais estreito) que reduz a pressão, e ganho de energia potencial (subida de