Um astronauta faz uma viagem de ida e volta em uma espaçonave, partindo da Terra e viajando em linha reta com velocidade constante durante seis meses e voltando ao ponto de partida da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao voltar à Terra, o astronauta constata que 1000 anos se passaram. Determine, com oito algarismos significativos, o parâmetro de velocidade β da espaçonave.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um astronauta que faz uma viagem de ida e volta na espaçonave saindo da Terra e retornando com velocidade constante. Ele viaja por seis meses para longe e mais seis meses de volta, totalizando um ano no seu próprio tempo. Porém, quando ele chega de volta à Terra, descobre que se passaram 1000 anos lá. Nosso objetivo é encontrar o parâmetro de velocidade
da espaçonave, que representa a velocidade em relação à velocidade da luz (
). Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de dilatação do tempo da teoria da relatividade especial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação do tempo:
Aqui,
é o tempo medido no referencial da Terra (1000 anos),
é o tempo medido no referencial do astronauta (1 ano), e
é o fator gamma, que é dado por:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar
primeiro.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação da dilatação do tempo para encontrar
:
Substituindo os valores dados:
Então,
.
Passo 4
Agora, sabemos que:
Para encontrar
, vamos resolver essa equação. Primeiro, vamos inverter ambos os lados:
Passo 5
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O parâmetro de velocidade
da espaçonave é aproximadamente
.