Um astronauta faz uma viagem de ida e volta em uma espaçonave, partindo da Terra e viajando em linha reta com velocidade constante durante seis meses e voltando ao ponto de partida da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao voltar à Terra, o astronauta constata que 1000 anos se passaram. Determine, com oito algarismos significativos, o parâmetro de velocidade β da espaçonave.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um astronauta que faz uma viagem de ida e volta na espaçonave saindo da Terra e retornando com velocidade constante. Ele viaja por seis meses para longe e mais seis meses de volta, totalizando um ano no seu próprio tempo. Porém, quando ele chega de volta à Terra, descobre que se passaram 1000 anos lá. Nosso objetivo é encontrar o parâmetro de velocidade beta da espaçonave, que representa a velocidade em relação à velocidade da luz ( v = beta c). Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de dilatação do tempo da teoria da relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação do tempo:
De
Aqui, De é o tempo medido no referencial da Terra (1000 anos), De é o tempo medido no referencial do astronauta (1 ano), e gamma é o fator gamma, que é dado por:
gamma = 1raiz1 - beta^2
Nosso objetivo é encontrar beta, então vamos isolar gamma primeiro.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação da dilatação do tempo para encontrar gamma:
gamma = De
Substituindo os valores dados:
gamma = 1000 anos1 ano = 1000
Então, gamma = 1000.

Passo 4

Agora, sabemos que:
gamma = 1raiz1 - beta^2 = 1000
Para encontrar beta, vamos resolver essa equação. Primeiro, vamos inverter ambos os lados:
raiz1 - beta^2 = 11000

Passo 5

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - beta^2 = (11000)^2 = 11000000
Então:
beta^2 = 1 - 11000000 = 9999991000000

Passo 6

Para encontrar beta, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
beta = raiz9999991000000 = raiz0,999999 approx 0,9999995

Resposta

O parâmetro de velocidade beta da espaçonave é aproximadamente 0,99999950.

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