O astrônomo alemão J. Kepler (1571-1630), adepto do sistema heliocêntrico, desenvolveu um trabalho de grande vulto, aperfeiçoando as ideias de Copérnico. Em consequência, ele conseguiu estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas, que permitiram um grande avanço no estudo da astronomia. Um estudante ao ter tomado conhecimento das leis de Kepler concluiu, segundo as proposições a seguir, que:
I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada.
II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita, diminui à medida que ele se afasta do Sol.
III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de revolução.
Com base na análise feita, assinale a alternativa correta:
a) apenas as proposições II e III são verdadeiras
b) apenas as proposições I e II são verdadeiras
c) apenas a proposição II é verdadeira
d) apenas a proposição I é verdadeira
e) todas as proposições são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá três proposições sobre as Leis de Kepler e pede que aponte quais são verdadeiras:
  • I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada.
  • II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita, diminui à medida que ele se afasta do Sol.
  • III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo é tanto maior quanto maior for seu período de revolução.
O que é pedido: indicar quais dessas proposições são verdadeiras (entre as alternativas dadas a–e).

Passo 2

Vou explicar a primeira lei de Kepler e verificar a proposição I.
Primeira lei de Kepler (lei das órbitas): cada planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, sendo o Sol localizado em um dos focos da elipse. Isso fala só da forma da órbita e da posição do Sol, não diz nada sobre as estações do ano.
Por que a proposição I está errada: as estações (verão, inverno) são causadas principalmente pela inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano de sua órbita (o eixo da Terra é inclinado ~ 23{,}5^\circ). Isso determina a incidência de radiação solar em cada hemisfério ao longo do ano. A variação da distância Terra–Sol (periélio/apélio) tem efeito muito menor nas estações e, além disso, o periélio ocorre no início do ano (janeiro), quando é inverno no hemisfério Norte. Portanto, afirmar que verão → Terra mais próxima e inverno → mais afastada contradiz a causa real das estações. Conclusão: I é falsa.

Passo 3

Explico a física por trás das estações, para fixar: quando o Hemisfério Norte está inclinado em direção ao Sol recebe raios mais diretos e dias mais longos → é verão no Norte; ao mesmo tempo o Sul está inclinado para fora → inverno no Sul. Isso independe do pequeno efeito da variação da distância orbital.

Passo 4

Agora a segunda lei de Kepler e a proposição II.
Segunda lei de Kepler (lei das áreas): o segmento que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Em linguagem física isso significa que a “velocidade areolar” é constante:
\frac{dA}{dt}=\text{constante}.
Para entender como a velocidade escalar varia com a distância r, considere a variação de área num pequeno intervalo de ângulo d\theta: a área aproximada varrida é \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Assim
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}=\text{constante}.
Isolando \dfrac{d\theta}{dt} obtemos \dfrac{d\theta}{dt}\propto \tfrac{1}{r^2}. A velocidade tangencial (linear) do planeta é
v=r\frac{d\theta}{dt}\propto \frac{1}{r}.
Isso mostra que, com a mesma constante de área, quando r aumenta o valor de v diminui (aproximadamente como 1/r naquele sentido). Logo: à medida que o planeta se afasta do Sol, sua velocidade orbital diminui. Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Para fixar a ideia da II, alguns exemplos rápidos: na aproximação à órbita (periélio) o planeta vai mais rápido; no afastamento (afélio) vai mais devagar. Esse comportamento é observado para a Terra e para outros planetas.

Passo 6

Agora a terceira lei de Kepler e a proposição III.
Terceira lei de Kepler (lei dos períodos): relaciona o período de revolução (tempo que o planeta leva para completar uma volta ao redor do Sol), que chamamos aqui de T, com o tamanho da órbita (para uma elipse, o semieixo maior a). A forma simplificada é
T^2 \propto a^3.
Note que essa lei relaciona somente o período de revolução T com a dimensão da órbita a. Ela NÃO faz nenhuma afirmação sobre o período de rotação do planeta em torno do seu próprio eixo (o “dia” do planeta). A proposição III afirma uma ligação direta entre período de rotação e período de revolução; isso não é parte da terceira lei e, na prática, não é verdade em geral.

Passo 7

Exemplos que mostram por que III é falsa:
  • A Terra tem período de rotação ~ 24 horas e período de revolução ~ 1 ano.
  • Júpiter gira muito rápido (período de rotação ~ 10 horas) mas tem um período de revolução de ~ 12 anos.
  • Mercúrio tem rotação lenta relativa ao dia solar e período de revolução de 88 dias; não há uma regra simples que diga que rotação cresce com a revolução.
    Esses exemplos mostram que o período de rotação não cresce necessariamente com o período de revolução. Conclusão: III é falsa.

Passo 8

Resumo das verdades/mentiras:
  • I é falsa (estações vêm da inclinação do eixo, não da distância orbital).
  • II é verdadeira (pela segunda lei: velocidade diminui ao aumentar r).
  • III é falsa (terceira lei relaciona T de revolução com a, não com rotação; rotação de cada planeta é um caso particular).

Resposta

(c)

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