Um bastão a
, medido por uma régua de aço à mesma temperatura, tem exatamente 20 cm de comprimento. Ambos, bastão e régua, são colocados num forno a
, onde o bastão mede agora 20.1 cm de comprimento na mesma régua.
a) Você esperaria que
fosse maior ou menor que
? b) Qual o coeficiente de dilatação térmica do material de que é feito o bastão?
a) Você esperaria que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado):
- Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - O bastão, medido pela régua de aço à
, tem comprimento exatamente . - Após aquecer ambos até
, na mesma régua de aço o bastão passa a medir . - A régua é de aço (logo tem coeficiente de dilatação linear
conhecido como o do aço).
Perguntas do enunciado:
(a) Esperaríamos que (do bastão) fosse maior ou menor que
?
(b) Calcular o coeficiente de dilatação térmica do material do bastão.
(a) Esperaríamos que
(b) Calcular o coeficiente de dilatação térmica
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Para dilatação linear de um corpo homogêneo, a relação entre comprimento final
e comprimento inicial quando a temperatura muda em é
onde:
-
é o comprimento à temperatura inicial, -
é o comprimento à nova temperatura, -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é a variação de temperatura em . -
Aqui há um detalhe importante: a régua também dilata. O “valor em cm” que lemos na régua depende do tamanho da marca de
após aquecimento. Se a marca de na régua fica maior, então para a mesma extensão física a leitura em “cm” diminui relativamente; se o bastão dilata mais que a régua, a leitura aumenta, etc. -
Se o bastão tem comprimento inicial
(medido pela régua a ), após aquecer: - comprimento real do bastão:
, - comprimento de uma unidade “1 cm” da régua aquecida:
.
- comprimento real do bastão:
-
A leitura em centímetros que a régua mostra ao medir o bastão aquecido é
Como
, podemos escrever
Passo 3
Aplicando os números do problema:
- Variação de temperatura:
- A leitura medida no forno foi
. Então da fórmula do passo anterior temos
- Isolando
:
Essa expressão dá
em função de
e dos números dados.
Passo 4
Precisamos de um valor padrão para
(coeficiente do aço). Um valor típico de referência para aço é
(Se o problema pedir usar outro valor, deve-se substituir aqui; vou usar este valor de tabela.)
Calculemos passo a passo:
Arredondando de maneira razoável (duas ou três cifras significativas):
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (intuitiva):
- A leitura subiu de
para ; ou seja, o bastão aparentou dilatar mais que a régua. Logo esperamos . Isso está de acordo com o número calculado: . - Uma aproximação útil quando
é usar expansão linear:
Da leitura
temos aproximadamente
, então
o que confirma o cálculo mais exato acima.
Resposta
(a)
é maior que
.\n
(b) .
(b)