Um bastão a 20^{\circ} \mathrm{C}, medido por uma régua de aço à mesma temperatura, tem exatamente 20 cm de comprimento. Ambos, bastão e régua, são colocados num forno a 270^{\circ} \mathrm{C}, onde o bastão mede agora 20.1 cm de comprimento na mesma régua.
a) Você esperaria que \alpha_{b} fosse maior ou menor que \alpha_{\text {aco }} ? b) Qual o coeficiente de dilatação térmica do material de que é feito o bastão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Temperatura inicial: \,20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: \,270^\circ\mathrm{C}.
  • O bastão, medido pela régua de aço à \,20^\circ\mathrm{C}, tem comprimento exatamente \,20\\ \mathrm{cm}.
  • Após aquecer ambos até \,270^\circ\mathrm{C}, na mesma régua de aço o bastão passa a medir \,20{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • A régua é de aço (logo tem coeficiente de dilatação linear \alpha_{\text{aco}} conhecido como o do aço).
Perguntas do enunciado:
(a) Esperaríamos que \alpha_{b} (do bastão) fosse maior ou menor que \alpha_{\text{aco}}?
(b) Calcular o coeficiente de dilatação térmica \alpha_{b} do material do bastão.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Para dilatação linear de um corpo homogêneo, a relação entre comprimento final L e comprimento inicial L_0 quando a temperatura muda em \Delta T é
L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T),
onde:
  • \,L_0 é o comprimento à temperatura inicial,
  • \,L é o comprimento à nova temperatura,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade \mathrm{^\circ C^{-1}}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em \mathrm{^\circ C}.
  • Aqui há um detalhe importante: a régua também dilata. O “valor em cm” que lemos na régua depende do tamanho da marca de 1\\ \mathrm{cm} após aquecimento. Se a marca de 1\\ \mathrm{cm} na régua fica maior, então para a mesma extensão física a leitura em “cm” diminui relativamente; se o bastão dilata mais que a régua, a leitura aumenta, etc.
  • Se o bastão tem comprimento inicial L_{0}=20\\ \mathrm{cm} (medido pela régua a \,20^\circ\mathrm{C}), após aquecer:
    • comprimento real do bastão: L_{b}=L_{0}\,(1+\alpha_{b}\Delta T),
    • comprimento de uma unidade “1 cm” da régua aquecida: c_{\text{cm}}=1\\ \mathrm{cm}\,(1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T).
  • A leitura em centímetros que a régua mostra ao medir o bastão aquecido é
\text{leitura}=\frac{L_{b}}{c_{\text{cm}}} = \frac{L_{0}\,(1+\alpha_{b}\Delta T)}{1\\ \mathrm{cm}\,(1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T)}.
Como L_{0}=20\\ \mathrm{cm}, podemos escrever
\text{leitura} = 20\cdot\frac{1+\alpha_{b}\Delta T}{1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T}.

Passo 3

Aplicando os números do problema:
  • Variação de temperatura:
\Delta T = 270 - 20 = 250\\ \mathrm{^\circ C}.
  • A leitura medida no forno foi \,20{,}1\\ \mathrm{cm}. Então da fórmula do passo anterior temos
20{,}1 = 20\cdot\frac{1+\alpha_{b}\Delta T}{1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T}.
  • Isolando \alpha_{b}:
\frac{1+\alpha_{b}\Delta T}{1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T} = \frac{20{,}1}{20} = 1{,}005,
1+\alpha_{b}\Delta T = 1{,}005\,(1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T),
\alpha_{b} = \frac{1{,}005\,(1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T)-1}{\Delta T}.
Essa expressão dá \alpha_{b} em função de \alpha_{\text{aco}} e dos números dados.

Passo 4

Precisamos de um valor padrão para \alpha_{\text{aco}} (coeficiente do aço). Um valor típico de referência para aço é
\alpha_{\text{aco}}\approx 1{,}1\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
(Se o problema pedir usar outro valor, deve-se substituir aqui; vou usar este valor de tabela.)
Calculemos passo a passo:
\alpha_{\text{aco}}\Delta T = 1{,}1\times 10^{-5}\times 250 = 2{,}75\times 10^{-3} = 0{,}00275.
1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T = 1 + 0{,}00275 = 1{,}00275.
1{,}005\,(1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T) = 1{,}005\times 1{,}00275 = 1{,}00776375.
1{,}00776375 - 1 = 0{,}00776375.
\alpha_{b} = \frac{0{,}00776375}{250} = 3{,}1055\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
Arredondando de maneira razoável (duas ou três cifras significativas):
\alpha_{b} \approx 3{,}11\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (intuitiva):
  • A leitura subiu de \,20 para \,20{,}1\\ \mathrm{cm}; ou seja, o bastão aparentou dilatar mais que a régua. Logo esperamos \alpha_{b} > \alpha_{\text{aco}}. Isso está de acordo com o número calculado: \,3{,}11\times 10^{-5} > 1{,}1\times 10^{-5}.
  • Uma aproximação útil quando \alpha\Delta T\ll 1 é usar expansão linear:
\frac{1+\alpha_{b}\Delta T}{1+\alpha_{\text{aco}}\Delta T}\approx 1+(\alpha_{b}-\alpha_{\text{aco}})\Delta T.
Da leitura 1{,}005 temos aproximadamente (\alpha_{b}-\alpha_{\text{aco}})\Delta T\approx 0{,}005, então
\alpha_{b}\approx \alpha_{\text{aco}}+\frac{0{,}005}{\Delta T}=\;1{,}1\times10^{-5}+\frac{0{,}005}{250}=1{,}1\times10^{-5}+2{,}0\times10^{-5}=3{,}1\times10^{-5},
o que confirma o cálculo mais exato acima.

Resposta

(a) \alpha_{b} é maior que \alpha_{\text{aco}}.\n
(b) \alpha_{b}\approx 3{,}11\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.

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