Considere um anel fechado completo, e carregado com uma carga Q total. Argumente como deveria se parecer o campo elétrico no eixo do anel nos seguintes casos:
no centro do anel.
no centro do anel.
Passo 1
O enunciado pede: qual é o campo elétrico no eixo do anel, especificamente no ponto central (ou seja, o centro do anel)?
Informações fornecidas (listadas claramente):
Informações fornecidas (listadas claramente):
- Anel circular completo, de raio
. - Carga total distribuída no anel:
(assume-se distribuição uniforme, pois não foi dito o contrário). - Quer-se o campo elétrico no eixo do anel, no centro do anel (o ponto equidistante de todos os elementos de carga do anel).
- Não há outras cargas externas nem condutores próximos (por hipótese do problema).
Passo 2
Conceitos fundamentais que serão usados (explicados de forma simples):
- Lei de Coulomb para um ponto carga: o campo elétrico gerado por uma carga pontual
num ponto a uma distância é
onde
é a permissividade do vácuo,
é a distância e
é o versor (direção) do ponto carga até o ponto onde se calcula o campo. Aqui: essa fórmula dá a contribuição vetorial de cada pedaço de carga.
- Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial (adição) das contribuições de cada pedaço de carga do anel.
- Simetria: se a distribuição de carga é simétrica em torno de um eixo, componentes transversais ao eixo podem se cancelar entre pares simétricos de elementos de carga.
Explicação intuitiva: para calcular o campo no eixo de um anel, é comum decompor a contribuição de cada elemento de carga em uma componente ao longo do eixo e uma componente radial (perpendicular ao eixo). Por simetria, as componentes radiais (horizontais) de elementos opostos do anel se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
Passo 3
Escolha de coordenadas e parametrização (passo a passo):
- Colocar o centro do anel na origem e o anel no plano
, com raio . O eixo do anel é o eixo . - Considerar um ponto
sobre o eixo a uma distância do centro (então tem coordenada ). O ponto central do anel corresponde a . - Tomar um elemento de carga infinitesimal
localizado em um ângulo no anel; sua posição é .
Distância e geometria:
- A distância entre o elemento
e o ponto é
- O campo produzido por
tem magnitude, pela lei de Coulomb,
- A direção de
é do elemento até . Essa direção forma um ângulo com o eixo , e
Passo 4
Decomposição da contribuição de cada elemento e uso da simetria:
- Decompor
em componente axial (ao longo de ) e componente radial (no plano ):
- A componente radial (perpendicular ao eixo) tem magnitude
, mas para cada elemento em ângulo existe outro elemento em que produz uma componente radial igual em magnitude e oposta em direção, portanto todas as componentes radiais se cancelam por simetria. Assim, só resta a soma das componentes .
Passo 5
Integração usando superposição (calcular o campo total no eixo em distância
):
- Integrando
ao longo de todo o anel (a integral de sobre o anel é ):
- Direção: para carga positiva
, a direção do campo é para fora do anel (no sentido de quando ), para aponta em . Em termos vetoriais:
Passo 6
Avaliação no centro do anel (resposta ao pedido específico):
- Para o centro do anel,
. Substituir na expressão:
- Interpretação física e simétrica simples: no centro cada elemento de carga tem um elemento oposto que produz contribuição de campo igual em magnitude e de direção oposta; todas as contribuições se cancelam exatamente. Portanto o campo elétrico no centro do anel é nulo.
Observações extras úteis para a prova (sem exigir cálculo):
- A expressão
mostra que é uma função ímpar de (simétrica anti-par), nula em , e decai como para grandes (como de uma carga concentrada no centro, até um fator). - Para pequenas deslocamentos
, a expansão dá , ou seja o campo cresce linearmente com perto do centro, o que é útil para analisar pequenas oscilações de uma carga presa no eixo.