Considere um anel fechado completo, e carregado com uma carga Q total. Argumente como deveria se parecer o campo elétrico no eixo do anel nos seguintes casos:
no centro do anel.

Passo 1

O enunciado pede: qual é o campo elétrico no eixo do anel, especificamente no ponto central (ou seja, o centro do anel)?
Informações fornecidas (listadas claramente):
  • Anel circular completo, de raio R.
  • Carga total distribuída no anel: Q (assume-se distribuição uniforme, pois não foi dito o contrário).
  • Quer-se o campo elétrico no eixo do anel, no centro do anel (o ponto equidistante de todos os elementos de carga do anel).
  • Não há outras cargas externas nem condutores próximos (por hipótese do problema).

Passo 2

Conceitos fundamentais que serão usados (explicados de forma simples):
  • Lei de Coulomb para um ponto carga: o campo elétrico gerado por uma carga pontual q num ponto a uma distância r é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, r é a distância e \hat{\mathbf{r}} é o versor (direção) do ponto carga até o ponto onde se calcula o campo. Aqui: essa fórmula dá a contribuição vetorial de cada pedaço de carga.
  • Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial (adição) das contribuições de cada pedaço de carga do anel.
  • Simetria: se a distribuição de carga é simétrica em torno de um eixo, componentes transversais ao eixo podem se cancelar entre pares simétricos de elementos de carga.
Explicação intuitiva: para calcular o campo no eixo de um anel, é comum decompor a contribuição de cada elemento de carga em uma componente ao longo do eixo e uma componente radial (perpendicular ao eixo). Por simetria, as componentes radiais (horizontais) de elementos opostos do anel se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.

Passo 3

Escolha de coordenadas e parametrização (passo a passo):
  • Colocar o centro do anel na origem e o anel no plano xy, com raio R. O eixo do anel é o eixo z.
  • Considerar um ponto P sobre o eixo a uma distância x do centro (então P tem coordenada z=x). O ponto central do anel corresponde a x=0.
  • Tomar um elemento de carga infinitesimal dQ localizado em um ângulo \varphi no anel; sua posição é (R\cos\varphi,\,R\sin\varphi,\,0).
Distância e geometria:
  • A distância entre o elemento dQ e o ponto P é
s=\sqrt{R^{2}+x^{2}}.
  • O campo produzido por dQ tem magnitude, pela lei de Coulomb,
dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{s^{2}}.
  • A direção de dE é do elemento até P. Essa direção forma um ângulo \theta com o eixo z, e
\cos\theta=\dfrac{x}{s}.

Passo 4

Decomposição da contribuição de cada elemento e uso da simetria:
  • Decompor dE em componente axial (ao longo de z) e componente radial (no plano xy):
dE_z = dE\cos\theta = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{s^{2}}\cdot\dfrac{x}{s} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{x\,dQ}{s^{3}}.
  • A componente radial (perpendicular ao eixo) tem magnitude dE_{\perp}=dE\sin\theta, mas para cada elemento em ângulo \varphi existe outro elemento em \varphi+\pi que produz uma componente radial igual em magnitude e oposta em direção, portanto todas as componentes radiais se cancelam por simetria. Assim, só resta a soma das componentes dE_z.

Passo 5

Integração usando superposição (calcular o campo total no eixo em distância x):
  • Integrando dE_z ao longo de todo o anel (a integral de dQ sobre o anel é Q):
E_z(x)=\int dE_z = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{x}{s^{3}}\int dQ = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,x}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}.
  • Direção: para carga positiva Q>0, a direção do campo é para fora do anel (no sentido de +\hat{\mathbf{z}} quando x>0), para x<0 aponta em -\hat{\mathbf{z}}. Em termos vetoriais:
\mathbf{E}(x)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,x}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Avaliação no centro do anel (resposta ao pedido específico):
  • Para o centro do anel, x=0. Substituir na expressão:
E_z(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\cdot 0}{(R^{2}+0)^{3/2}}=0.
  • Interpretação física e simétrica simples: no centro cada elemento de carga tem um elemento oposto que produz contribuição de campo igual em magnitude e de direção oposta; todas as contribuições se cancelam exatamente. Portanto o campo elétrico no centro do anel é nulo.
Observações extras úteis para a prova (sem exigir cálculo):
  • A expressão E_z(x)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Qx}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}} mostra que E é uma função ímpar de x (simétrica anti-par), nula em x=0, e decai como 1/x^{2} para grandes x (como de uma carga Q concentrada no centro, até um fator).
  • Para pequenas deslocamentos x\ll R, a expansão dá E_z\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R^{3}}\,x, ou seja o campo cresce linearmente com x perto do centro, o que é útil para analisar pequenas oscilações de uma carga presa no eixo.

Resposta

\mathbf{E}(0)=\mathbf{0}

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