Um astrônomo deseja medir a distância entre nosso sistema solar e estrela Antares (em anos-luz), bem como a temperatura na superfície de tal estrela (em Kelvin). Em seu observatório ele obtém a sequência de valores na tabela abaixo. Para auxiliá-lo no processamento desses dados, faça o que se pede nos itens a seguir.
lccccccccc $xi$ (distância) & 691 & $3 grave4$ & 518 & 503 & 402 & $3 / 45$ & 498 & 4512 & 615 $yi$ (temperatura) & 3890 & 3763 & 3499 & 3510 & 3600 & 3546 & 3604 & 3691 & 3361 (distância) 691 95% 518 503 402 498 4512 615
(temperatura) 3890 3763 3499 3510 3600 3546 3604 3691 3361
Assumindo que a distância é normalmente distribuída com média igual à distância verdadeira (desconhecida) e que seu desvio padrão é conhecido e igual a 100 anos-luz, encontre o tamanho mínimo da amostra para que a distância verdadeira seja estimada com um erro máximo de 10 anos-luz, com de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um astrônomo que quer medir a distância até a estrela Antares e a temperatura na superfície dela. Mas o foco aqui é encontrar o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a distância verdadeira com um erro máximo de 10 anos-luz e com 95% de probabilidade. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente o cálculo do tamanho da amostra para estimativas de média quando a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando queremos estimar a média de uma população e sabemos que a distribuição dos dados é normal com desvio padrão conhecido, podemos usar a fórmula do Tamanho da Amostra (n) para uma Estimação por Intervalo de Confiança. A fórmula que usamos é:
n = ( Z cdot sigmaE )^2
Onde:
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão conhecido da população.
  • $ E $ é a margem de erro máxima que queremos permitir na estimativa.

Passo 3

Vamos identificar cada um desses componentes com os valores que a questão nos deu:
  • Nível de confiança: 95%. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que o intervalo de confiança que calcularmos realmente contém a média verdadeira.
  • Valor crítico ($ Z $): Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ Z $ é aproximadamente 1,96. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão.
  • Desvio padrão ($ \sigma $): Foi dado que $ \sigma = 100 $ anos-luz.
  • Margem de erro ($ E $): Queremos que o erro máximo seja de 10 anos-luz, então $ E = 10 $.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ n $:
n

Passo 5

Vamos fazer as contas dentro dos parênteses primeiro:
1,96 cdot 10010 = 19610 = 19,6
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:
n = (19,6)^2 = 384,16

Passo 6

Como o tamanho da amostra $ n $ precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima para garantir que a margem de erro não seja excedida. Portanto:
n

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é 385 observações.

Exercícios relacionados