Um astrônomo deseja medir a distância entre nosso sistema solar e estrela Antares (em anos-luz), bem como a temperatura na superfície de tal estrela (em Kelvin). Em seu observatório ele obtém a sequência de valores na tabela abaixo. Para auxiliá-lo no processamento desses dados, faça o que se pede nos itens a seguir.
(distância)
691
518
503
402
498
4512
615
(temperatura)
3890
3763
3499
3510
3600
3546
3604
3691
3361
Assumindo que a distância é normalmente distribuída com média igual à distância verdadeira (desconhecida) e que seu desvio padrão é conhecido e igual a 100 anos-luz, encontre o tamanho mínimo da amostra para que a distância verdadeira seja estimada com um erro máximo de 10 anos-luz, com
de probabilidade.
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691 |
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518 | 503 | 402 |
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498 | 4512 | 615 |
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3890 | 3763 | 3499 | 3510 | 3600 | 3546 | 3604 | 3691 | 3361 |
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um astrônomo que quer medir a distância até a estrela Antares e a temperatura na superfície dela. Mas o foco aqui é encontrar o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a distância verdadeira com um erro máximo de 10 anos-luz e com 95% de probabilidade. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente o cálculo do tamanho da amostra para estimativas de média quando a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando queremos estimar a média de uma população e sabemos que a distribuição dos dados é normal com desvio padrão conhecido, podemos usar a fórmula do Tamanho da Amostra (n) para uma Estimação por Intervalo de Confiança. A fórmula que usamos é:
Onde:
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão conhecido da população.
- $ E $ é a margem de erro máxima que queremos permitir na estimativa.
Passo 3
Vamos identificar cada um desses componentes com os valores que a questão nos deu:
-
Nível de confiança: 95%. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que o intervalo de confiança que calcularmos realmente contém a média verdadeira.
-
Valor crítico ($ Z $): Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ Z $ é aproximadamente 1,96. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão.
-
Desvio padrão ($ \sigma $): Foi dado que $ \sigma = 100 $ anos-luz.
-
Margem de erro ($ E $): Queremos que o erro máximo seja de 10 anos-luz, então $ E = 10 $.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ n $:
Passo 5
Vamos fazer as contas dentro dos parênteses primeiro:
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:
Passo 6
Como o tamanho da amostra $ n $ precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima para garantir que a margem de erro não seja excedida. Portanto:
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é 385 observações.