O peso, X , da população de pessoas de uma cidade pode ser modelado por uma distribuição Normal, X sim N(mu=85, sigma^2=9^2).
Considere que o critério para uma pessoa ser considerada obesa é ter peso dentre os 2% superiores na distribuição da v.a. X. Calcule o limite inferior para uma pessoa ser considerada obesa, isto é, o quantil de 98% de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso das pessoas numa cidade que segue uma distribuição Normal, ou seja, é distribuído de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média ( mu) é 85 kg e o desvio padrão ( sigma) é 9 kg. A gente precisa encontrar o limite a partir do qual uma pessoa é considerada obesa, ou seja, está nos 2% mais pesados da população. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar o valor de peso que corresponde ao percentil de 98%. Isso significa que 98% das pessoas pesam até esse valor, e os 2% mais pesados estão acima dele.

Passo 3

Para achar esse valor, vamos padronizar a distribuição normal original para a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos encontrar,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor de Z que corresponde ao 98º percentil. Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que:
Z0.98 approx 2.054
Isso significa que o valor de Z que deixa 2% da área à direita é aproximadamente 2.054.

Passo 5

Com o valor de Z0.98, podemos voltar para a distribuição original para encontrar o valor de X. Usando a fórmula de padronização, rearranjamos para encontrar X:
X = mu + Z times sigma

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
X = 85 + 2.054 times 9 X = 85 + 18.486 X approx 103.486

Resposta

Portanto, o limite inferior para uma pessoa ser considerada obesa é aproximadamente 103.49 kg.

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