O peso, X , da população de pessoas de uma cidade pode ser modelado por uma distribuição Normal, X sim N(mu=85, sigma^2=9^2).
Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter peso menor do que 78 Kg. Calcule também a probabilidade de, num grupo de 4 pessoas escolhidas aleatoriamente, haver exatamente 2 com peso menor que 78 Kg.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso das pessoas em uma cidade, que segue uma distribuição Normal, ou seja, $ X \sim N\left(\mu=85, \sigma{2}=9{2}\right) $. Precisamos calcular duas coisas:
  1. A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente pesar menos de 78 kg.
  2. A probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg. Como a distribuição é Normal, vamos usar a padronização para encontrar o valor z correspondente.
A fórmula para padronizar é:
z = X - musigma

Passo 3

Aplicando os valores:
z = 78 - 859 = -79 approx -0,78

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z < -0,78 $ na tabela da distribuição Normal Padrão. Olhando na tabela ou usando uma calculadora, vemos que:
Z < -0,78
Então, a probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg é de aproximadamente 21,77%.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte. Queremos saber a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg. Isso é um caso de distribuição Binomial, onde:
  • Número de tentativas ($ n $) = 4
  • Probabilidade de sucesso ($ p $) = 0,2177
  • Número de sucessos desejados ($ k $) = 2
A fórmula da Binomial é:
n

Passo 6

Calculando:
binom42 = 4!2!2! = 6
P(2) = 6 times (0,2177)^2 times (1 - 0,2177)^2
P(2) = 6 times 0,0474 times 0,6145
P(2) approx 6 times 0,0474 times 0,6145
P(2) approx 6 times 0,0291
P(2) approx 0,1746
Então, a probabilidade de exatamente 2 pessoas pesarem menos de 78 kg em um grupo de 4 é de aproximadamente 17,46%.

Resposta

A probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg é de aproximadamente 21,77% e a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg é de aproximadamente 17,46%.

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