O peso, X , da população de pessoas de uma cidade pode ser modelado por uma distribuição Normal,
.
Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter peso menor do que 78 Kg. Calcule também a probabilidade de, num grupo de 4 pessoas escolhidas aleatoriamente, haver exatamente 2 com peso menor que 78 Kg.
Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter peso menor do que 78 Kg. Calcule também a probabilidade de, num grupo de 4 pessoas escolhidas aleatoriamente, haver exatamente 2 com peso menor que 78 Kg.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso das pessoas em uma cidade, que segue uma distribuição Normal, ou seja, $ X \sim N\left(\mu=85, \sigma{2}=9{2}\right) $. Precisamos calcular duas coisas:
- A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente pesar menos de 78 kg.
- A probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg. Como a distribuição é Normal, vamos usar a padronização para encontrar o valor z correspondente.
A fórmula para padronizar é:
Passo 3
Aplicando os valores:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z < -0,78 $ na tabela da distribuição Normal Padrão. Olhando na tabela ou usando uma calculadora, vemos que:
Então, a probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg é de aproximadamente 21,77%.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte. Queremos saber a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg. Isso é um caso de distribuição Binomial, onde:
- Número de tentativas ($ n $) = 4
- Probabilidade de sucesso ($ p $) = 0,2177
- Número de sucessos desejados ($ k $) = 2
A fórmula da Binomial é:
Passo 6
Calculando:
Então, a probabilidade de exatamente 2 pessoas pesarem menos de 78 kg em um grupo de 4 é de aproximadamente 17,46%.
Resposta
A probabilidade de uma pessoa pesar menos de 78 kg é de aproximadamente 21,77% e a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas, exatamente 2 pesarem menos de 78 kg é de aproximadamente 17,46%.