T1 , até 0,5 na P1
Nome: DRE: Turma: TQ 10-12
A probabilidade de um componente eletrônico de um computador falhar ( F) antes de 1000 horas de funcionamento é: 0,04, se for da marca A1; 0,06, se for da marca A2; e 0,10, se for da marca A3. Numa loja de manutenção, 20% dos componentes em estoque são da marca A1, 30% da marca A2 e 50% da marca A3. Um componente é escolhido ao acaso para o conserto de um computador. Determine a probabilidade:
(a) de que ele funcione perfeitamente por mais de 1000 horas, P(F^c);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de probabilidade envolvendo componentes eletrônicos de diferentes marcas e suas chances de falhar antes de 1000 horas. A matéria aqui é Probabilidade Total e vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidades condicionais para resolver isso. Basicamente, queremos saber qual é a probabilidade de um componente escolhido aleatoriamente não falhar antes de 1000 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidades de falha antes de 1000 horas:
    • Marca A1: P(F|A1) = 0,04
    • Marca A2: P(F|A2) = 0,06
    • Marca A3: P(F|A3) = 0,10
  • Proporções das marcas no estoque:
    • Marca A1: 20% = 0,20
    • Marca A2: 30% = 0,30
    • Marca A3: 50% = 0,50
Queremos encontrar a probabilidade de que o componente não falhe, ou seja, P(F^c).

Passo 3

Vamos lembrar que a probabilidade de não falhar é o complemento da probabilidade de falhar. Então:
P(F^c|Ai) = 1 - P(F|Ai)
Aplicando isso para cada marca:
  • Marca A1: P(F^c|A1) = 1 - 0,04 = 0,96
  • Marca A2: P(F^c|A2) = 1 - 0,06 = 0,94
  • Marca A3: P(F^c|A3) = 1 - 0,10 = 0,90

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei da Probabilidade Total. Essa lei nos ajuda a encontrar a probabilidade total de um evento considerando todas as possibilidades que podem levar a esse evento. No nosso caso, queremos P(F^c), que é a chance de o componente não falhar, considerando todas as marcas.
A fórmula da Lei da Probabilidade Total é:
P(F^c) = P(F^c|A1)P(A1) + P(F^c|A2)P(A2) + P(F^c|A3)P(A3)

Passo 5

Vamos substituir os valores que já temos na fórmula:
P(F^c) = (0,96 times 0,20) + (0,94 times 0,30) + (0,90 times 0,50)

Passo 6

Agora, vamos fazer as contas:
  • 0,96 times 0,20 = 0,192
  • 0,94 times 0,30 = 0,282
  • 0,90 times 0,50 = 0,450
Somando tudo:
P(F^c) = 0,192 + 0,282 + 0,450 = 0,924

Resposta

A probabilidade de que o componente funcione perfeitamente por mais de 1000 horas é de 0,924 ou 92,4%.

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