Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
para o espaço, onde o ponto
é a origem e
é uma base ortonormal positiva.
Considere a quádrica
.
a) Completando quadrados identifique a quádrica e determine seu centro.
b) Identifique as curvas de corte pelos planos
e
.
para o espaço, onde o ponto
Considere a quádrica
a) Completando quadrados identifique a quádrica e determine seu centro.
b) Identifique as curvas de corte pelos planos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- A quádrica é dada por
- O sistema de coordenadas é ortonormal e positivo; portanto as coordenadas
são as usuais.
-
O enunciado pede:
- (a) Completando quadrados, identificar que tipo de quádrica é essa e determinar seu centro.
- (b) Identificar as curvas de intersecção (cortes) da quádrica com os planos
e .
Passo 2
Explicação do método que vou usar (curta e prática): completar quadrados nas parcelas que envolvem
(porque há um termo linear em
) e usar a forma padrão de uma superfície quadriculada para reconhecer se é elipsoide, hiperbolóide, etc. Agora eu mostro como completar o quadrado passo a passo.
Começo reagrupando termos com
,
e
:
Trato primeiro o bloco em
. Coloco em evidência o coeficiente de
:
Para completar o quadrado em
, lembro a fórmula:
. Aqui
é
, logo
Substituo isso na expressão:
Agora distribuo o
:
Somando as constantes
e
:
Passo os termos quadráticos para o lado esquerdo e a constante para o direito (ou simplesmente isolo a soma):
Multiplico ambos os lados por
para ter coeficientes positivos nos quadrados:
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão de uma superfície quadrática dividindo por
:
Agora explico como reconhecer a superfície a partir dessa forma: quando todos os três termos quadráticos aparecem com sinais positivas e somados a
, trata-se de um elipsoide (uma “esfera alongada” em coordenadas escaladas). Cada denominador positiva indica o quadrado do semi-eixo correspondente.
- Para o eixo
: corresponde a semi-eixo com , logo . - Para o eixo
: corresponde a semi-eixo com , logo . - Para o eixo
: corresponde a semi-eixo com , logo .
O centro da superfície vem das translações observadas nos termos
e
: o centro é o ponto onde todos os parênteses se anulam, isto é
.
Justificando: a equação na forma
é, por definição, a equação de um elipsoide com centro em
e semi-eixos
alinhados com os eixos coordenados. A nossa equação tem exatamente essa forma com
.
Portanto a quádrica é um elipsoide centrado em
.
Passo 4
Agora faço o corte pela reta (plano)
. Para encontrar a curva de intersecção, substituo
na forma padrão:
Calculo o primeiro termo:
Substituindo esse valor,
Subtraio
de ambos os lados:
Como cada parcela do lado esquerdo é um quadrado dividido por número positivo, ambas são não-negativas. A soma de duas quantidades não-negativas só é zero quando cada parcela é zero. Logo:
o que implica
e
, ou seja
.
Portanto a interseção com o plano
é o único ponto
. Justificação adicional: quando a interseção reduz-se a um único ponto, isso significa que o plano é tangente ao elipsoide em tal ponto; aqui
é um plano paralelo ao plano
que toca o elipsoide em
.
Passo 5
Agora faço o corte pelo plano
. Substituo
na equação padrão:
O último termo é zero porque
, então a equação reduz-se a
Isto é a equação de uma elipse plana contida no plano
, com centro no ponto
(porque quando
e
ambos os termos anulam) e semi-eixos
na direção
e
na direção
. Em outras palavras: o corte é exatamente a seção elíptica principal do elipsoide pelo plano que passa pelo seu centro e é perpendicular ao eixo
.
Justificação: uma seção de um elipsoide por um plano que anula um dos termos quadráticos (aqui o termo em
) resulta em uma seção elíptica (se o plano atravessa o elipsoide) com equação dada pela restrição resultante; como os coeficientes são positivos e a soma iguala
, temos uma elipse.
Resposta
a) É um elipsoide; centro em
.
b) Intersecção com : o único ponto
.
Intersecção com : a elipse dada por
no plano
.
b) Intersecção com
Intersecção com