Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Considere a quádrica
Q:-4 x^{2}+16 x-9 y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
a) Completando quadrados identifique a quádrica e determine seu centro.
b) Identifique as curvas de corte pelos planos
x=5
e
z=-1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A quádrica é dada por
    -4 x^{2}+16 x-9 y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
    • O sistema de coordenadas é ortonormal e positivo; portanto as coordenadas x,y,z são as usuais.
  • O enunciado pede:
    • (a) Completando quadrados, identificar que tipo de quádrica é essa e determinar seu centro.
    • (b) Identificar as curvas de intersecção (cortes) da quádrica com os planos x=5 e z=-1.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (curta e prática): completar quadrados nas parcelas que envolvem x (porque há um termo linear em x) e usar a forma padrão de uma superfície quadriculada para reconhecer se é elipsoide, hiperbolóide, etc. Agora eu mostro como completar o quadrado passo a passo.
Começo reagrupando termos com x, y e z:
-4x^{2}+16x-9y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
Trato primeiro o bloco em x. Coloco em evidência o coeficiente de x^{2}:
-4\bigl(x^{2}-4x\bigr)-9y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
Para completar o quadrado em x^{2}-4x, lembro a fórmula: a^{2}-2ab=(a-b)^{2}-b^{2}. Aqui x^{2}-4x é x^{2}-2\cdot x\cdot 2, logo
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Substituo isso na expressão:
-4\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)-9y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
Agora distribuo o -4:
-4(x-2)^{2}+16-9y^{2}-6(z+1)^{2}+20=0.
Somando as constantes 16 e 20:
-4(x-2)^{2}-9y^{2}-6(z+1)^{2}+36=0.
Passo os termos quadráticos para o lado esquerdo e a constante para o direito (ou simplesmente isolo a soma):
-4(x-2)^{2}-9y^{2}-6(z+1)^{2}=-36.
Multiplico ambos os lados por -1 para ter coeficientes positivos nos quadrados:
4(x-2)^{2}+9y^{2}+6(z+1)^{2}=36.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão de uma superfície quadrática dividindo por 36:
\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{(z+1)^{2}}{6}=1.
Agora explico como reconhecer a superfície a partir dessa forma: quando todos os três termos quadráticos aparecem com sinais positivas e somados a 1, trata-se de um elipsoide (uma “esfera alongada” em coordenadas escaladas). Cada denominador positiva indica o quadrado do semi-eixo correspondente.
  • Para o eixo x: \dfrac{(x-2)^{2}}{9} corresponde a semi-eixo a com a^{2}=9, logo a=3.
  • Para o eixo y: \dfrac{y^{2}}{4} corresponde a semi-eixo b com b^{2}=4, logo b=2.
  • Para o eixo z: \dfrac{(z+1)^{2}}{6} corresponde a semi-eixo c com c^{2}=6, logo c=\sqrt{6}.
O centro da superfície vem das translações observadas nos termos (x-2) e (z+1): o centro é o ponto onde todos os parênteses se anulam, isto é (x,y,z)=(2,0,-1).
Justificando: a equação na forma
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}=1
é, por definição, a equação de um elipsoide com centro em (x_{0},y_{0},z_{0}) e semi-eixos a,b,c alinhados com os eixos coordenados. A nossa equação tem exatamente essa forma com (x_{0},y_{0},z_{0})=(2,0,-1).
Portanto a quádrica é um elipsoide centrado em (2,0,-1).

Passo 4

Agora faço o corte pela reta (plano) x=5. Para encontrar a curva de intersecção, substituo x=5 na forma padrão:
\frac{(5-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{(z+1)^{2}}{6}=1.
Calculo o primeiro termo:
\frac{(5-2)^{2}}{9}=\frac{3^{2}}{9}=\frac{9}{9}=1.
Substituindo esse valor,
1+\frac{y^{2}}{4}+\frac{(z+1)^{2}}{6}=1.
Subtraio 1 de ambos os lados:
\frac{y^{2}}{4}+\frac{(z+1)^{2}}{6}=0.
Como cada parcela do lado esquerdo é um quadrado dividido por número positivo, ambas são não-negativas. A soma de duas quantidades não-negativas só é zero quando cada parcela é zero. Logo:
\frac{y^{2}}{4}=0\quad\text{e}\quad\frac{(z+1)^{2}}{6}=0,
o que implica y=0 e z+1=0, ou seja z=-1.
Portanto a interseção com o plano x=5 é o único ponto (5,0,-1). Justificação adicional: quando a interseção reduz-se a um único ponto, isso significa que o plano é tangente ao elipsoide em tal ponto; aqui x=5 é um plano paralelo ao plano yz que toca o elipsoide em (5,0,-1).

Passo 5

Agora faço o corte pelo plano z=-1. Substituo z=-1 na equação padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{( -1+1)^{2}}{6}=1.
O último termo é zero porque -1+1=0, então a equação reduz-se a
\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Isto é a equação de uma elipse plana contida no plano z=-1, com centro no ponto (2,0,-1) (porque quando x=2 e y=0 ambos os termos anulam) e semi-eixos 3 na direção x e 2 na direção y. Em outras palavras: o corte é exatamente a seção elíptica principal do elipsoide pelo plano que passa pelo seu centro e é perpendicular ao eixo z.
Justificação: uma seção de um elipsoide por um plano que anula um dos termos quadráticos (aqui o termo em z) resulta em uma seção elíptica (se o plano atravessa o elipsoide) com equação dada pela restrição resultante; como os coeficientes são positivos e a soma iguala 1, temos uma elipse.

Resposta

a) É um elipsoide; centro em (2,0,-1).
b) Intersecção com x=5: o único ponto (5,0,-1).
Intersecção com z=-1: a elipse dada por \dfrac{(x-2)^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 no plano z=-1.

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