Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Considere a esfera de equação
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+6 x+1=0.
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Determine uma equação geral para o plano que é tangente à esfera
S
no ponto
P=(-1,2,0).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados:
  • A esfera S de equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1=0.
  • O ponto P=(-1,2,0).
Perguntas:
  • (a) Determinar o centro e o raio da esfera S.
  • (b) Determinar uma equação geral do plano tangente à esfera S no ponto P.
Além disso, é importante verificar se P pertence de fato à esfera antes de procurar o plano tangente.

Passo 2

Encontrar o centro e o raio pela técnica de completar quadrados.
Explicando a ideia (passo-a-passo):
  • Uma esfera em coordenadas cartesianas tem equação de forma \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0. Ao completar o quadrado em x,y,z obtém-se a forma \,(x+a)^{2}+(y+b)^{2}+(z+c)^{2}=R^{2}, onde o centro é (-a,-b,-c) e o raio é R.
  • No nosso caso só aparece termo linear em x (o coeficiente é 6), ou seja 2a=6\Rightarrow a=3, e não há termos lineares em y nem z (logo b=0, c=0). Vou fazer explicitamente completando o quadrado para ficar cristalino.
Cálculo:
x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1=0.
Agrupando os termos em x:
x^{2}+6x + y^{2}+z^{2}+1=0.
Completo o quadrado em x: \,x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9. Substituindo:
(x+3)^{2}-9 + y^{2}+z^{2}+1=0.
Reagrupando os constantes:
(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-8=0.
Isolando a soma dos quadrados:
(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}=8.
Dessa forma o centro é C=(-3,0,0) e o raio é \,r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Verificar que P pertence à esfera (para podermos falar de tangente em P).
Avalio a expressão da esfera no ponto P=(-1,2,0):
(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}+6(-1)+1 = 1+4+0-6+1 =0.
Como o resultado é 0, o ponto P satisfaz a equação da esfera, portanto P\in S. Justificativa: a tangente só existe (no sentido pedido) se o ponto estiver sobre a superfície; verificação feita acima garante isso.

Passo 4

Encontrar a normal ao plano tangente: relação entre gradiente e normal; e entre centro→ponto e normal.
Explicação didática:
  • Para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é perpendicular à superfície naquele ponto; portanto é um vetor normal ao plano tangente.
  • No caso de uma esfera escrita como \,(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-8=0, geometricamente o raio que liga o centro C a um ponto P da esfera é perpendicular à esfera naquele ponto; logo o vetor \overrightarrow{CP}=P-C é normal ao plano tangente. Esses dois fatos coincidem (o gradiente será paralelo a \overrightarrow{CP}).
Calculando o gradiente para confirmar e obter o normal:
Defina F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1. Então
\nabla F(x,y,z)=\bigl(2x+6,\;2y,\;2z\bigr).
Avalio em P=(-1,2,0):
\nabla F(P)=\bigl(2(-1)+6,\;2\cdot 2,\;2\cdot 0\bigr)=\bigl(4,\;4,\;0\bigr).
Portanto um vetor normal ao plano tangente em P é n=(4,4,0).
Verificação com \overrightarrow{CP}:
\overrightarrow{CP}=P-C = (-1-(-3),\;2-0,\;0-0)=(2,2,0),
que é paralelo a (4,4,0) (na verdade (4,4,0)=2\,(2,2,0)), confirmando coerência entre os métodos.

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal e o ponto P.
Fórmula usada:
  • A equação de um plano com normal n=(A,B,C) passando por um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.
Aplicando com n=(4,4,0) e P=(-1,2,0):
4(x-(-1)) + 4(y-2) + 0(z-0) = 0.
Simplificando:
4(x+1)+4(y-2)=0.
4x+4+4y-8=0.
4x+4y-4=0.
Dividindo por 4 (equação equivalente, forma mais simples):
x+y-1=0.
Portanto a equação do plano tangente em P é \,x+y-1=0.

Passo 6

Checagem final (justificativa adicional): distância do centro ao plano deve ser igual ao raio.
Cálculo da distância do centro C=(-3,0,0) ao plano x+y-1=0:
  • Fórmula da distância ponto-plano para ax+by+cz+d=0 é \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
    Aqui a=1,b=1,c=0,d=-1 e C=(-3,0,0), então
\text{dist}=\frac{|1\cdot(-3)+1\cdot 0 + 0\cdot 0 -1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
Isso é exatamente o raio r=2\sqrt{2} obtido antes, servindo como verificação consistente da resposta.

Resposta

(a) Centro C=(-3,0,0) e raio r=2\sqrt{2}.
(b) Equação do plano tangente em P: x+y-1=0.

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