Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano \sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Considere a esfera de equação S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+6 x+1=0.
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Determine uma equação geral para o plano que é tangente à esfera
S
no ponto P=(-1,2,0).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados:
A esfera S de equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1=0.
O ponto P=(-1,2,0).
Perguntas:
(a) Determinar o centro e o raio da esfera S.
(b) Determinar uma equação geral do plano tangente à esfera S no ponto P.
Além disso, é importante verificar se P pertence de fato à esfera antes de procurar o plano tangente.
Passo 2
Encontrar o centro e o raio pela técnica de completar quadrados.
Explicando a ideia (passo-a-passo):
Uma esfera em coordenadas cartesianas tem equação de forma \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0. Ao completar o quadrado em x,y,z obtém-se a forma \,(x+a)^{2}+(y+b)^{2}+(z+c)^{2}=R^{2}, onde o centro é (-a,-b,-c) e o raio é R.
No nosso caso só aparece termo linear em x (o coeficiente é 6), ou seja 2a=6\Rightarrow a=3, e não há termos lineares em y nem z (logo b=0, c=0). Vou fazer explicitamente completando o quadrado para ficar cristalino.
Cálculo:
x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1=0.
Agrupando os termos em x:
x^{2}+6x + y^{2}+z^{2}+1=0.
Completo o quadrado em x: \,x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9. Substituindo:
(x+3)^{2}-9 + y^{2}+z^{2}+1=0.
Reagrupando os constantes:
(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-8=0.
Isolando a soma dos quadrados:
(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}=8.
Dessa forma o centro é C=(-3,0,0) e o raio é \,r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Passo 3
Verificar que P pertence à esfera (para podermos falar de tangente em P).
Avalio a expressão da esfera no ponto P=(-1,2,0):
(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}+6(-1)+1 = 1+4+0-6+1 =0.
Como o resultado é 0, o ponto P satisfaz a equação da esfera, portanto P\in S. Justificativa: a tangente só existe (no sentido pedido) se o ponto estiver sobre a superfície; verificação feita acima garante isso.
Passo 4
Encontrar a normal ao plano tangente: relação entre gradiente e normal; e entre centro→ponto e normal.
Explicação didática:
Para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é perpendicular à superfície naquele ponto; portanto é um vetor normal ao plano tangente.
No caso de uma esfera escrita como \,(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-8=0, geometricamente o raio que liga o centro C a um ponto P da esfera é perpendicular à esfera naquele ponto; logo o vetor \overrightarrow{CP}=P-C é normal ao plano tangente. Esses dois fatos coincidem (o gradiente será paralelo a \overrightarrow{CP}).
Calculando o gradiente para confirmar e obter o normal:
Defina F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x+1. Então