Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
para o espaço, onde o ponto
é a origem e
é uma base ortonormal positiva.
Determine a equação de elipse que possui focos
e
e que passa no ponto
.
Em seguida, esboce e determine os vértices.
para o espaço, onde o ponto
Determine a equação de elipse que possui focos
e
e que passa no ponto
Em seguida, esboce e determine os vértices.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (isso veio do enunciado):
- Focos:
e . - A elipse passa pelo ponto
. - Pede-se: (i) determinar a equação da elipse; (ii) esboçar (descrever) a elipse; (iii) determinar os vértices.
Esses são todos os dados e as perguntas. Não inicio resolução ainda, só organizei o que foi fornecido e o que precisa ser respondido.
Passo 2
Primeira observação sobre os dados (justificação geométrica do centro): os focos são simétricos em relação à origem
(pois
e
). O centro da elipse é o ponto médio dos focos; portanto o centro é o ponto
Conclusão: a elipse tem centro em
. Além disso, os focos estão sobre o eixo
, então o eixo maior está alinhado com o eixo
.
Passo 3
Relembrando a definição útil (aula rápida e justificativa dos parâmetros): para uma elipse centrada na origem com eixo maior ao longo do eixo
, usa-se a forma canônica
onde
é o semi-eixo maior (distância do centro a um vértice sobre o eixo maior) e
é o semi-eixo menor (distância do centro a um vértice sobre o eixo menor). Os focos ficam em
com
. Existe a relação fundamental entre os parâmetros:
Justificação dessa relação (rápida): o ponto
é um extremo do eixo menor; as distâncias desse ponto aos focos são iguais e valem
. Pela definição da elipse (soma das distâncias aos focos é constante e igual a
) tem-se
, daí
e portanto
.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: dos dados dos focos, a distância do centro a qualquer foco é
pois um foco é
. Logo
Passo 5
Usar o ponto fornecido para obter
ou
: como a elipse passa por
, substitui-se
e
na equação canônica
. Fazendo isso obtemos
Portanto
e, como
,
Justificação: não há ambiguidade no sinal de
porque
representa uma distância positiva.
Passo 6
Agora usamos a relação
para encontrar
. Substituindo
e
obtemos
Logo
(positiva por ser semi-eixo maior).
Passo 7
Escrever a equação final da elipse: com
e
, a equação canônica é
Justificação final: temos centro em
, eixo maior sobre o eixo
com semi-eixo
, semi-eixo menor
, e os focos em
(confere com os dados).
Passo 8
Determinar os vértices (definição e cálculo): os vértices da elipse normalmente referem-se às extremidades do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo
e o semi-eixo maior vale
, os vértices principais são
Pode também mencionar os co-vértices (extremidades do eixo menor), que são
note que
é realmente um ponto da elipse dado no enunciado (confirmação útil).
Passo 9
Esboço (descrição do desenho passo a passo para você reproduzir na prova): desenhe um sistema de eixos
-
com centro em
. Marque os pontos:
- vértices principais em
e ; - co-vértices em
e ; - focos em
e (estes estão entre o centro e os vértices, pois ).
Trace uma curva oval suave passando pelos quatro pontos extremos citados, mais larga no sentido(pois ). Assim obtém-se um esboço plausível da elipse. Dica prática: primeiro desenhe o retângulo de apoio com cantos e depois desenhe a oval que toca os lados médios desse retângulo (método clássico de esboço).
Resposta
Vértices principais:
e
Co-vértices:
e