Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Determine a equação de elipse que possui focos
F_{1}=(-4,0)
e
F_{2}=(4,0)
e que passa no ponto
(0,3).
Em seguida, esboce e determine os vértices.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (isso veio do enunciado):
  • Focos: F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0).
  • A elipse passa pelo ponto (0,3).
  • Pede-se: (i) determinar a equação da elipse; (ii) esboçar (descrever) a elipse; (iii) determinar os vértices.
    Esses são todos os dados e as perguntas. Não inicio resolução ainda, só organizei o que foi fornecido e o que precisa ser respondido.

Passo 2

Primeira observação sobre os dados (justificação geométrica do centro): os focos são simétricos em relação à origem O=(0,0) (pois F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0)). O centro da elipse é o ponto médio dos focos; portanto o centro é o ponto
\left(\frac{-4+4}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(0,0).
Conclusão: a elipse tem centro em O=(0,0). Além disso, os focos estão sobre o eixo x, então o eixo maior está alinhado com o eixo x.

Passo 3

Relembrando a definição útil (aula rápida e justificativa dos parâmetros): para uma elipse centrada na origem com eixo maior ao longo do eixo x, usa-se a forma canônica
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde \,a>0 é o semi-eixo maior (distância do centro a um vértice sobre o eixo maior) e \,b>0 é o semi-eixo menor (distância do centro a um vértice sobre o eixo menor). Os focos ficam em (\pm c,0) com c>0. Existe a relação fundamental entre os parâmetros:
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Justificação dessa relação (rápida): o ponto (0,b) é um extremo do eixo menor; as distâncias desse ponto aos focos são iguais e valem \sqrt{c^{2}+b^{2}}. Pela definição da elipse (soma das distâncias aos focos é constante e igual a 2a) tem-se 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a, daí \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a e portanto c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: dos dados dos focos, a distância do centro a qualquer foco é
c=4,
pois um foco é (4,0). Logo
c^{2}=16.

Passo 5

Usar o ponto fornecido para obter a ou b: como a elipse passa por (0,3), substitui-se x=0 e y=3 na equação canônica \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Fazendo isso obtemos
\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{3^{2}}{b^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{9}{b^{2}}=1.
Portanto
b^{2}=9,
e, como b>0,
b=3.
Justificação: não há ambiguidade no sinal de b porque b representa uma distância positiva.

Passo 6

Agora usamos a relação c^{2}=a^{2}-b^{2} para encontrar a^{2}. Substituindo c^{2}=16 e b^{2}=9 obtemos
16=a^{2}-9 \quad\Rightarrow\quad a^{2}=16+9=25.
Logo
a=5
(positiva por ser semi-eixo maior).

Passo 7

Escrever a equação final da elipse: com a^{2}=25 e b^{2}=9, a equação canônica é
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Justificação final: temos centro em (0,0), eixo maior sobre o eixo x com semi-eixo a=5, semi-eixo menor b=3, e os focos em (\pm c,0)=(\pm 4,0) (confere com os dados).

Passo 8

Determinar os vértices (definição e cálculo): os vértices da elipse normalmente referem-se às extremidades do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo x e o semi-eixo maior vale a=5, os vértices principais são
(5,0)\quad\text{e}\quad(-5,0).
Pode também mencionar os co-vértices (extremidades do eixo menor), que são
(0,3)\quad\text{e}\quad(0,-3),
note que (0,3) é realmente um ponto da elipse dado no enunciado (confirmação útil).

Passo 9

Esboço (descrição do desenho passo a passo para você reproduzir na prova): desenhe um sistema de eixos x- y com centro em O. Marque os pontos:
  • vértices principais em (-5,0) e (5,0);
  • co-vértices em (0,3) e (0,-3);
  • focos em (-4,0) e (4,0) (estes estão entre o centro e os vértices, pois c=4<a=5).
    Trace uma curva oval suave passando pelos quatro pontos extremos citados, mais larga no sentido x (pois a>b). Assim obtém-se um esboço plausível da elipse. Dica prática: primeiro desenhe o retângulo de apoio com cantos (\pm a,\pm b)=(\pm5,\pm3) e depois desenhe a oval que toca os lados médios desse retângulo (método clássico de esboço).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
Vértices principais: (5,0) e (-5,0)
Co-vértices: (0,3) e (0,-3)

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