Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
Indique por
a transformada de Laplace da solução
do PVI
C|E a) A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das funções
e
.
CEF b) A solução
é tal que
.
C|E c) A transformada
é um quociente com um polinômio de grau 2 no denominador.
C
E
d) A transformada
é uma combinação linear das transformadas
e
.
C|E e) Para calcular a transformada inversa
não é necessário expandir
em frações parciais.
Indique por
C|E c) A transformada
| C | E |
| d) A transformada
|
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial
e pede que eu decida se cada item (a)–(e) é certo (C) ou errado (E), justificando. Também é indicado que
significa a transformada de Laplace de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
condições iniciais
.
Perguntas a responder (cada uma com justificativa): (a) sobre a forma da solução geral, (b) valor específico , (c) natureza do denominador de
, (d) se
é combinação de
e
, (e) se para inverter
não é necessário usar frações parciais.
Perguntas a responder (cada uma com justificativa): (a) sobre a forma da solução geral, (b) valor específico
Passo 2
Primeiro vamos achar a solução geral da EDO homogênea (isso também responde (a)). Técnica: assumir solução da forma
e obter a equação característica. Montamos a característica:
Resolvendo a quadrática: discriminante
. Então as raízes são
Quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução real geral tem a forma
Comparando com o que o item (a) afirma — que a combinação linear seria de
e
— vemos que os expoentes e as frequências estão trocados: a solução correta tem fator
e funções trigonométricas com frequência
, não
com frequência
. Logo o item (a) é errado (E).
Passo 3
Agora usemos as condições iniciais para determinar
e
— é útil para (b). Temos
Calcule
:
Como
, segue
.
Agora calcule
. Faço derivada passo a passo: usando produto e derivadas de seno/cosseno,
Agrupando:
Em
(onde
):
Como
e já achamos
, obtém-se
Portanto a solução particular é
Passo 4
Use essa solução para avaliar
e decidir o item (b). Substituindo
:
Sabemos
e
. Logo
O item (b) afirmava que
. Isso difere em que o expoente está
em vez de
. Portanto (b) é errado (E).
Passo 5
Agora vamos calcular
diretamente pela transformada da EDO — isso serve para (c), (d) e (e). Primeiro lembro as fórmulas úteis (aula curta):
- Transformada de
: . - Transformada de
: .
Estas fórmulas vêm da definição da transformadae integração por partes; elas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em .
Aplicando a Laplace na EDO e usando
:
Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Ou seja
Portanto
Isto responde (c): o denominador é o polinômio
, que é de grau
. Logo o item (c) é correto (C).
Passo 6
Para analisar (d) e preparar a inversa sem frações parciais, reescrevo
de forma a reconhecer transformadas conhecidas. Complete quadrado no denominador:
Escrevo o numerador como
, então
Agora uso fórmulas padrão da transformada:
Comparando, o primeiro termo
é exatamente
. O segundo termo
é
. Assim
Portanto
é combinação linear das transformadas de
e
deslocadas por
(ou, dito de outro modo, são transformadas de
e
). O item (d) afirmava que
é combinação de
e
. Isso está incorreto por dois motivos: a frequência correta é
(logo
), mas o deslocamento correto no
é
(por causa do fator
), não
. Assim o item (d) é errado (E).
Passo 7
Sobre a necessidade de frações parciais (item (e)): como mostrei no Passo 6, já reescrevi
de forma a reconhecer diretamente as formas
e
. Com isso posso aplicar a transformada inversa imediatamente e obter
sem fazer frações parciais. Em geral, frações parciais são uma ferramenta para decompor expressões racionais quando o denominador se fatoriza em termos lineares reais; mas quando o denominador está na forma
e o numerador pode ser escrito como
mais constante, reconhecemos diretamente as transformadas de exponenciais vezes seno/cosseno. Portanto a afirmação “para calcular a transformada inversa
não é necessário expandir
em frações parciais” é verdadeira neste caso — logo (e) é certo (C).
Para fechar, encontro a inversa explicitamente (mostrando que volta à solução do Passo 3):
o que coincide com a solução determinada pelas condições iniciais.
Resposta
a) E
b) E
c) C
d) E
e) C
b) E
c) C
d) E
e) C