Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
Indique por Y(s) a transformada de Laplace da solução y(t) do PVI
y^{\prime \prime}(t)+2 y^{\prime}(t)+10 y(t)=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1
C|E a) A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das funções \mathrm{e}^{-3 t} \cos (t) e \mathrm{e}^{-3 t} \operatorname{sen}(t).
CEF b) A solução y(t) é tal que y(\pi)=-\mathrm{e}^{-3 \pi}.
C|E c) A transformada Y(s) é um quociente com um polinômio de grau 2 no denominador.
C E
d) A transformada Y(s) é uma combinação linear das transformadas \mathcal{L}[\cos (t)](s+3)
e \mathcal{L}[\operatorname{sen}(t)](s+3).
C|E e) Para calcular a transformada inversa y(t) não é necessário expandir Y(s) em frações parciais.

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial
y''(t)+2y'(t)+10y(t)=0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1
e pede que eu decida se cada item (a)–(e) é certo (C) ou errado (E), justificando. Também é indicado que Y(s) significa a transformada de Laplace de y(t).
Informações relevantes fornecidas:
\text{EDO homogênea: }y''+2y'+10y=0,ê
condições iniciais \;y(0)=1,\;y'(0)=1.
Perguntas a responder (cada uma com justificativa): (a) sobre a forma da solução geral, (b) valor específico y(\pi), (c) natureza do denominador de Y(s), (d) se Y(s) é combinação de \mathcal{L}[\cos(t)](s+3) e \mathcal{L}[\sin(t)](s+3), (e) se para inverter Y(s) não é necessário usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução geral da EDO homogênea (isso também responde (a)). Técnica: assumir solução da forma \mathrm{e}^{rt} e obter a equação característica. Montamos a característica:
r^2+2r+10=0.
Resolvendo a quadrática: discriminante \Delta=2^2-4\cdot1\cdot10=4-40=-36. Então as raízes são
r=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-2\pm 6\mathrm{i}}{2}=-1\pm 3\mathrm{i}.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=-1\pm 3\mathrm{i}, a solução real geral tem a forma
y(t)=\mathrm{e}^{-t}\big(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\big).
Comparando com o que o item (a) afirma — que a combinação linear seria de \mathrm{e}^{-3t}\cos t e \mathrm{e}^{-3t}\sin t — vemos que os expoentes e as frequências estão trocados: a solução correta tem fator \mathrm{e}^{-t} e funções trigonométricas com frequência 3, não \mathrm{e}^{-3t} com frequência 1. Logo o item (a) é errado (E).

Passo 3

Agora usemos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2 — é útil para (b). Temos
y(t)=\mathrm{e}^{-t}\big(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\big).
Calcule y(0):
y(0)=\mathrm{e}^{0}\big(C_1\cos0 + C_2\sin0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Como y(0)=1, segue C_1=1.
Agora calcule y'(t). Faço derivada passo a passo: usando produto e derivadas de seno/cosseno,
y'(t)=-\mathrm{e}^{-t}\big(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\big)+\mathrm{e}^{-t}\big(-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)\big).
Agrupando:
y'(t)=\mathrm{e}^{-t}\big[ -C_1\cos(3t)-C_2\sin(3t)-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)\big].
Em t=0 (onde \cos0=1,\;\sin0=0):
y'(0)= -C_1 + 3C_2.
Como y'(0)=1 e já achamos C_1=1, obtém-se
-1 + 3C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 3C_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{2}{3}.
Portanto a solução particular é
y(t)=\mathrm{e}^{-t}\Big(\cos(3t)+\frac{2}{3}\sin(3t)\Big).

Passo 4

Use essa solução para avaliar y(\pi) e decidir o item (b). Substituindo t=\pi:
y(\pi)=\mathrm{e}^{-\pi}\Big(\cos(3\pi)+\frac{2}{3}\sin(3\pi)\Big).
Sabemos \cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1 e \sin(3\pi)=\sin(\pi)=0. Logo
y(\pi)=\mathrm{e}^{-\pi}\cdot(-1) = -\mathrm{e}^{-\pi}.
O item (b) afirmava que y(\pi)=-\mathrm{e}^{-3\pi}. Isso difere em que o expoente está -3\pi em vez de -\pi. Portanto (b) é errado (E).

Passo 5

Agora vamos calcular \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\; diretamente pela transformada da EDO — isso serve para (c), (d) e (e). Primeiro lembro as fórmulas úteis (aula curta):
  • Transformada de y'(t): \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0).
  • Transformada de y''(t): \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
    Estas fórmulas vêm da definição da transformada \mathcal{L}\{f\}=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-st}f(t)\,dt e integração por partes; elas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s).
Aplicando a Laplace na EDO e usando y(0)=1,\;y'(0)=1:
(s^2Y - s\cdot 1 - 1) + 2(sY - 1) + 10 Y = 0.
Agrupando os termos em Y e os termos constantes:
Y(s)\big(s^2+2s+10\big) - (s+1) - 2 = 0.
Ou seja
Y(s)\big(s^2+2s+10\big) = s+3.
Portanto
Y(s)=\frac{s+3}{s^2+2s+10}.
Isto responde (c): o denominador é o polinômio s^2+2s+10, que é de grau 2. Logo o item (c) é correto (C).

Passo 6

Para analisar (d) e preparar a inversa sem frações parciais, reescrevo Y(s) de forma a reconhecer transformadas conhecidas. Complete quadrado no denominador:
s^2+2s+10=(s+1)^2+9.
Escrevo o numerador como (s+1)+2, então
Y(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+3^2}+\frac{2}{(s+1)^2+3^2}.
Agora uso fórmulas padrão da transformada:
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2},\qquad \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}.
Comparando, o primeiro termo \dfrac{s+1}{(s+1)^2+3^2} é exatamente \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-t}\cos(3t)\}(s). O segundo termo \dfrac{2}{(s+1)^2+3^2} é \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{(s+1)^2+3^2}=\dfrac{2}{3}\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-t}\sin(3t)\}(s). Assim
Y(s)=\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-t}\cos(3t)\}(s)+\frac{2}{3}\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-t}\sin(3t)\}(s).
Portanto Y(s) é combinação linear das transformadas de \cos(3t) e \sin(3t) deslocadas por s\mapsto s+1 (ou, dito de outro modo, são transformadas de \mathrm{e}^{-t}\cos(3t) e \mathrm{e}^{-t}\sin(3t)). O item (d) afirmava que Y(s) é combinação de \mathcal{L}[\cos(t)](s+3) e \mathcal{L}[\sin(t)](s+3). Isso está incorreto por dois motivos: a frequência correta é 3 (logo \cos(3t),\sin(3t)), mas o deslocamento correto no s é s+1 (por causa do fator \mathrm{e}^{-t}), não s+3. Assim o item (d) é errado (E).

Passo 7

Sobre a necessidade de frações parciais (item (e)): como mostrei no Passo 6, já reescrevi Y(s) de forma a reconhecer diretamente as formas \dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2} e \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}. Com isso posso aplicar a transformada inversa imediatamente e obter y(t) sem fazer frações parciais. Em geral, frações parciais são uma ferramenta para decompor expressões racionais quando o denominador se fatoriza em termos lineares reais; mas quando o denominador está na forma (s+a)^2+b^2 e o numerador pode ser escrito como (s+a) mais constante, reconhecemos diretamente as transformadas de exponenciais vezes seno/cosseno. Portanto a afirmação “para calcular a transformada inversa y(t) não é necessário expandir Y(s) em frações parciais” é verdadeira neste caso — logo (e) é certo (C).
Para fechar, encontro a inversa explicitamente (mostrando que volta à solução do Passo 3):
y(t)=\mathrm{e}^{-t}\cos(3t)+\frac{2}{3}\mathrm{e}^{-t}\sin(3t) =\mathrm{e}^{-t}\Big(\cos(3t)+\frac{2}{3}\sin(3t)\Big),
o que coincide com a solução determinada pelas condições iniciais.

Resposta

a) E
b) E
c) C
d) E
e) C

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