Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. justificando:
Se
e
são duas funções distintas tais que
e
, então
não existe.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente diga se a afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando:
- Dado
. - Existem duas funções
e , distintas, tais que
e
- A afirmativa a ser verificada é: “Então
não existe.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que significa escrever
.
Significa: para todo existe
tal que, para todo
com
(ou seja,
), vale
. Em palavras: quando
se aproxima de
pela direita, os valores de
ficam arbitrariamente grandes e positivos. O mesmo vale para
.
Significa: para todo
Importante: essa definição não impõe nenhuma relação de proporção entre
e
. Só exige que ambos cresçam sem limite quando
.
Passo 3
A afirmação do enunciado diz que, sempre que
e
vão para
à direita de
, o limite da razão
não existe. Note que isto é uma afirmação universal (diz “então … não existe” para todo par com essas propriedades). Para refutar uma afirmação universal basta apresentar um contraexemplo: dois
e
distintos que satisfazem os limites para
e tal que a razão tenha limite (ou, de modo alternativo, que a razão seja um número finito ou infinito bem definido). Se encontrarmos um contraexemplo, a afirmação é falsa.
Passo 4
Vou construir um contraexemplo simples e calcular tudo passo a passo. Escolho
qualquer (por exemplo,
é confortável), e defino para
próximo de
:
Essas funções são distintas (claramente
porque
com fator
). Agora verifico os limites quando
.
Para
e próximo de
, temos
pequeno, então
é um número positivo muito grande. Portanto
Multiplicando por
também dá
, logo
e
Assim as hipóteses do enunciado são satisfeitas.
Agora calculo a razão:
Essa razão é constantemente igual a
para todo
onde as funções estão definidas (próximo de
pela direita). Logo
que existe e é finito. Isso é um contraexemplo: funções distintas, ambas tendendo a
, e a razão tem limite (não é inexistente).
Passo 5
Explico didaticamente o que aprendemos e como usar isso na prova:
- O fato de
e não determina por si só o comportamento de . A razão pode tender a um número real não nulo (como no exemplo, tende a ), pode tender a (por exemplo, se e , então ), pode tender a (se cresce muito mais rápido), ou pode não ter limite (se houver oscilações ou comportamentos não comparáveis). - Uma boa estratégia na prova: para decidir se uma afirmação universal desse tipo é verdadeira ou falsa, tente construir contraexemplos simples. Funções do tipo
são ótimas para em e permitem ajustar razões constantes. - Observação conceitual: “funções distintas” apenas significa
como funções; isso não impede que seja um múltiplo escalar de (como ), e nesses casos a razão é constante. Portanto a hipótese “distintas” não basta para garantir inexistência do limite da razão.
Passo 6
Conclusão lógica: como existe pelo menos um exemplo que satisfaz as hipóteses e para o qual
existe (no caso, é
), a afirmação universal do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa.