Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. justificando:
Se a \in \mathbb{R} e f(x), g(x) são duas funções distintas tais que \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)= +\infty, então \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} não existe.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente diga se a afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando:
  • Dado a\in\mathbb{R}.
  • Existem duas funções f(x) e g(x), distintas, tais que \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty
e
\lim_{x\to a^{+}} g(x)=+\infty.
  • A afirmativa a ser verificada é: “Então \lim_{x\to a^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)} não existe.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que significa escrever \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty.
Significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<x-a<\delta (ou seja, a<x<a+\delta), vale f(x)>M. Em palavras: quando x se aproxima de a pela direita, os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes e positivos. O mesmo vale para g.
Importante: essa definição não impõe nenhuma relação de proporção entre f e g. Só exige que ambos cresçam sem limite quando x\to a^{+}.

Passo 3

A afirmação do enunciado diz que, sempre que f e g vão para +\infty à direita de a, o limite da razão \dfrac{f(x)}{g(x)} não existe. Note que isto é uma afirmação universal (diz “então … não existe” para todo par com essas propriedades). Para refutar uma afirmação universal basta apresentar um contraexemplo: dois f e g distintos que satisfazem os limites para +\infty e tal que a razão tenha limite (ou, de modo alternativo, que a razão seja um número finito ou infinito bem definido). Se encontrarmos um contraexemplo, a afirmação é falsa.

Passo 4

Vou construir um contraexemplo simples e calcular tudo passo a passo. Escolho a qualquer (por exemplo, a=0 é confortável), e defino para x>a próximo de a:
f(x)=\frac{2}{x-a},\qquad g(x)=\frac{1}{x-a}.
Essas funções são distintas (claramente f\neq g porque f(x)=2g(x) com fator 2\neq1). Agora verifico os limites quando x\to a^{+}.
Para x>a e próximo de a, temos x-a>0 pequeno, então \dfrac{1}{x-a} é um número positivo muito grande. Portanto
\lim_{x\to a^{+}} \frac{1}{x-a}=+\infty.
Multiplicando por 2 também dá +\infty, logo
\lim_{x\to a^{+}} f(x)=\lim_{x\to a^{+}} \frac{2}{x-a}=+\infty,
e
\lim_{x\to a^{+}} g(x)=\lim_{x\to a^{+}} \frac{1}{x-a}=+\infty.
Assim as hipóteses do enunciado são satisfeitas.
Agora calculo a razão:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\dfrac{2}{x-a}}{\dfrac{1}{x-a}}=2.
Essa razão é constantemente igual a 2 para todo x onde as funções estão definidas (próximo de a pela direita). Logo
\lim_{x\to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=2,
que existe e é finito. Isso é um contraexemplo: funções distintas, ambas tendendo a +\infty, e a razão tem limite (não é inexistente).

Passo 5

Explico didaticamente o que aprendemos e como usar isso na prova:
  • O fato de f(x)\to+\infty e g(x)\to+\infty não determina por si só o comportamento de \dfrac{f(x)}{g(x)}. A razão pode tender a um número real não nulo (como no exemplo, tende a 2), pode tender a 0 (por exemplo, se f(x)=\dfrac{1}{x-a} e g(x)=\dfrac{1}{(x-a)^2}, então \dfrac{f(x)}{g(x)}=x-a\to0), pode tender a +\infty (se f cresce muito mais rápido), ou pode não ter limite (se houver oscilações ou comportamentos não comparáveis).
  • Uma boa estratégia na prova: para decidir se uma afirmação universal desse tipo é verdadeira ou falsa, tente construir contraexemplos simples. Funções do tipo \dfrac{C}{x-a} são ótimas para +\infty em x\to a^{+} e permitem ajustar razões constantes.
  • Observação conceitual: “funções distintas” apenas significa f\neq g como funções; isso não impede que f seja um múltiplo escalar de g (como f=2g), e nesses casos a razão é constante. Portanto a hipótese “distintas” não basta para garantir inexistência do limite da razão.

Passo 6

Conclusão lógica: como existe pelo menos um exemplo que satisfaz as hipóteses e para o qual \lim_{x\to a^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)} existe (no caso, é 2), a afirmação universal do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados