Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. justificando:
Se
e
são duas funções distintas tais que
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmativa é verdadeira ou falsa, e justifique. As informações dadas são:
-
. -
e são duas funções distintas. -
. -
.
A afirmativa a decidir é:.
Passo 2
Vou lembrar o significado preciso das afirmações com infinitos (de forma didática e passo a passo):
- Dizer que
significa: para todo existe tal que, para todo com , temos . Em palavras: ao nos aproximarmos de pela esquerda, cresce sem limite. - Dizer que
significa: para todo existe tal que, para todo com , temos . Em palavras: ao nos aproximarmos de pela esquerda, decresce sem limite (vai para o negativo infinito).
Essas definições formam a base rigorosa; note que ambas dizem apenas que os valores absolutos crescem sem limite, mas não dizem nada sobre “velocidades relativas” entre
e
.
Passo 3
Explicar por que não se pode concluir diretamente que a soma dá
. A expressão
é um caso clássico de forma indeterminada: saber que uma parcela vai para
e a outra para
não determina o comportamento da soma, porque depende das taxas de crescimento/decrescimento de cada função quando
. Em termos simples: se
e
“se anularem” exatamente, a soma pode tender a
; se um crescer mais rápido, a soma pode tender a
; se o negativo crescer mais rápido, a soma pode tender a
; e ainda pode tender a qualquer número real. Ou seja, a afirmação “a soma vale
” não é garantida pelas hipóteses — precisamos de exemplos.
Passo 4
Construo um contraexemplo simples e explícito (esquema que você pode usar na prova): escolho
(permissível, o enunciado só pede existência geral). Defino, para
:
Verifico as condições:
- Para
(isto é, negativo e se aproximando de ), temos . Logo . - Para
, temos , então . Logo .
As hipóteses do enunciado estão satisfeitas (ee são funções distintas).
Agora calculo a soma:
para todo
(exceto
que não está no domínio). Assim
Portanto a afirmativa do enunciado é falsa — aqui temos funções que satisfazem as hipóteses mas cuja soma tem limite igual a
, não
.
Passo 5
Para fixar a ideia (didaticamente): mostro que, mudando a construção, a soma pode tender a qualquer número real ou até divergir para
.
- Para obter qualquer real
: escolha e . Então , e . - Para obter
: escolha e . Então , e . - Para obter
: escolha e . Então , e .
Esses exemplos ilustram bem que a forma
é indeterminada: pode dar qualquer limite real ou infinito, dependendo das funções.
Passo 6
Conclusão informal e dica para a prova: sempre que aparecer
não presuma valor; busque um contraexemplo ou analise as taxas de crescimento. Para garantir um determinado resultado sobre a soma, você precisa de hipóteses adicionais (por exemplo, uma das funções dominando a outra, ou que a diferença
seja conhecida). Mantenha a calma — identificar a forma indeterminada e oferecer um contraexemplo simples já resolve a questão.
Resposta
Falso.