Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. justificando:
Se a \in \mathbb{R} e f(x), g(x) são duas funções distintas tais que \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow a^{-}} g(x)= -\infty, então \lim _{x \rightarrow a^{-}}(f(x)+g(x))=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmativa é verdadeira ou falsa, e justifique. As informações dadas são:
  • a\in\mathbb{R}.
  • f(x) e g(x) são duas funções distintas.
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}} g(x)=-\infty.
    A afirmativa a decidir é: \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}}\big(f(x)+g(x)\big)=0.

Passo 2

Vou lembrar o significado preciso das afirmações com infinitos (de forma didática e passo a passo):
  • Dizer que \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=+\infty significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, para todo x com a-\delta<x<a, temos f(x)>M. Em palavras: ao nos aproximarmos de a pela esquerda, f(x) cresce sem limite.
  • Dizer que \displaystyle \lim_{x\to a^-} g(x)=-\infty significa: para todo N>0 existe \delta'>0 tal que, para todo x com a-\delta'<x<a, temos g(x)<-N. Em palavras: ao nos aproximarmos de a pela esquerda, g(x) decresce sem limite (vai para o negativo infinito).
Essas definições formam a base rigorosa; note que ambas dizem apenas que os valores absolutos crescem sem limite, mas não dizem nada sobre “velocidades relativas” entre f e g.

Passo 3

Explicar por que não se pode concluir diretamente que a soma dá 0. A expressão +\infty+(-\infty) é um caso clássico de forma indeterminada: saber que uma parcela vai para +\infty e a outra para -\infty não determina o comportamento da soma, porque depende das taxas de crescimento/decrescimento de cada função quando x\to a^-. Em termos simples: se f e g “se anularem” exatamente, a soma pode tender a 0; se um crescer mais rápido, a soma pode tender a +\infty; se o negativo crescer mais rápido, a soma pode tender a -\infty; e ainda pode tender a qualquer número real. Ou seja, a afirmação “a soma vale 0” não é garantida pelas hipóteses — precisamos de exemplos.

Passo 4

Construo um contraexemplo simples e explícito (esquema que você pode usar na prova): escolho a=0 (permissível, o enunciado só pede existência geral). Defino, para x<0:
f(x) = -\frac{1}{x},\qquad g(x) = \frac{1}{x}+1.
Verifico as condições:
  • Para x\to 0^- (isto é, x negativo e se aproximando de 0), temos -\dfrac{1}{x}\to +\infty. Logo \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=+\infty.
  • Para x\to 0^-, temos \dfrac{1}{x}\to -\infty, então \dfrac{1}{x}+1\to -\infty. Logo \displaystyle \lim_{x\to0^-} g(x)=-\infty.
    As hipóteses do enunciado estão satisfeitas (e f e g são funções distintas).
Agora calculo a soma:
f(x)+g(x)=\left(-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{1}{x}+1\right)=1
para todo x<0 (exceto x=0 que não está no domínio). Assim
\lim_{x\to0^-}\big(f(x)+g(x)\big)=1\neq 0.
Portanto a afirmativa do enunciado é falsa — aqui temos funções que satisfazem as hipóteses mas cuja soma tem limite igual a 1, não 0.

Passo 5

Para fixar a ideia (didaticamente): mostro que, mudando a construção, a soma pode tender a qualquer número real ou até divergir para \pm\infty.
  • Para obter qualquer real L: escolha f(x)=-\dfrac{1}{x} e g(x)=\dfrac{1}{x}+L. Então \lim_{x\to0^-}f=+\infty, \lim_{x\to0^-}g=-\infty e f+g\equiv L.
  • Para obter \displaystyle \lim_{x\to0^-}(f+g)=+\infty: escolha f(x)=\dfrac{1}{x^2} e g(x)=-\dfrac{1}{x}. Então \lim f=+\infty, \lim g=-\infty e f+g=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Para obter \displaystyle \lim_{x\to0^-}(f+g)=-\infty: escolha f(x)=-\dfrac{1}{x} e g(x)=-\dfrac{1}{x^2}. Então \lim f=+\infty, \lim g=-\infty e f+g=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\to -\infty.
Esses exemplos ilustram bem que a forma +\infty+(-\infty) é indeterminada: pode dar qualquer limite real ou infinito, dependendo das funções.

Passo 6

Conclusão informal e dica para a prova: sempre que aparecer +\infty+(-\infty) não presuma valor; busque um contraexemplo ou analise as taxas de crescimento. Para garantir um determinado resultado sobre a soma, você precisa de hipóteses adicionais (por exemplo, uma das funções dominando a outra, ou que a diferença f+g seja conhecida). Mantenha a calma — identificar a forma indeterminada e oferecer um contraexemplo simples já resolve a questão.

Resposta

Falso.

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