Questão 04 - Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica boldsymbolk realiza um movimento harmônico simples. O período boldsymbolt do MHS é dado por t=C cdot m^a cdot k^b, em que C=2 pi é uma constanteadimensional. Determine os expoentes boldsymbola e boldsymbolb e escreva a fórmula do período e frequência.

Passo 1

Beleza, o exercício tá dizendo que um bloco de massa t ;=; C cdot m^a cdot k^b, preso a uma mola de constante elástica faz MHS e o período desse movimento é dado por
onde é só um número. A gente precisa achar os expoentes e usando análise dimensional e, depois, escrever a fórmula certinha do período e também da frequência . Então o conteúdo aqui é análise dimensional aplicada ao movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, lembra da ideia de análise dimensional: a dimensão de cada lado da equação tem que bater.
  • O período [m^a k^b] ;=; M^a times (M,T^-2)^b ;=; M^a+b,T^-2b tem dimensão de tempo: a + b = 0 .
  • A massa -2b = 1 tem dimensão de massa: .
  • A constante da mola tem unidade de força por comprimento, ou seja força ( ) sobre comprimento ( ), então .
Agora, escreve a dimensão do lado direito:
Como o lado esquerdo é , a gente impõe:
  1. Na massa: expoente de tem que ser zero (já que não aparece no período):
  1. No tempo: expoente de tem que ser :

Passo 3

Resolve essas duas equações:
-2b = 1 Longrightarrow b = -tfrac12
E aí, como a = -b = +tfrac12 , vem

Passo 4

Agora que a gente sabe T = 2pi ; m^tfrac12 ; k^-tfrac12 = 2pi ,raizmk e , coloca de volta na fórmula com :
Pronto, essa é a forma clássica do período de um MHS mola-massa.

Passo 5

Pra encontrar a frequência f = 12pi,raizkm , basta lembrar que . Então

Resposta

a = , b =
Período:
Frequência:

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