O elemento localizado no centro de uma camada de argila normalmente adensada encontra-se sob tensão efetiva de 200 kPa e apresenta um índice de vazios de 1,52 . Quais recalques seriam esperados se a camada sofresse um incremento de tensão de 150 kPa e em seguida sofresse um descarregamento de 200 kPa ? Descreva a história de tensões após esta sequência de eventos. A camada tem 4 m de espessura, está saturada e seus parâmetros de compressibilidade são: Cr =0,08, \mathrm{Cc}=0,37.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os recalques (assentamentos) esperados quando uma camada de argila, inicialmente em tensão efetiva de \,200\\ \text{kPa}\, e com índice de vazios \,e_0=1,52\,, sofre primeiro um incremento de tensão de \,150\\ \text{kPa}\, e em seguida um descarregamento de \,200\\ \text{kPa}\,. A camada tem espessura \,H=4\\ \text{m}\,, está saturada, e os parâmetros dados são o índice de recompressão \,C_r=0{,}08\, e o índice de compressão virgem \,C_c=0{,}37.\n\nInformações relevantes do enunciado (listas simples para eu não me perder):\n- tensão efetiva inicial: \,\sigma'_0=200\\ \text{kPa}\,\n- incremento de tensão: \,+150\\ \text{kPa} (leva a \,\sigma'=350\\ \text{kPa})\n- subsequente descarregamento: \,-200\\ \text{kPa} (leva a \sigma'_{\text{final}}=150\\ \text{kPa})\n- índice de vazios inicial: \,e_0=1{,}52\,\n- espessura da camada: \,H=4\\ \text{m}\,\n- parâmetros: \,C_r=0{,}08,\; C_c=0{,}37\,\n\nPerguntas a responder: (1) qual o recalque após o incremento de \,150\\ \text{kPa}\,? (2) qual o efeito do descarregamento de \,200\\ \text{kPa}\, (recuo/heave) e quanto ele anula do recalque anterior? (3) qual é o recalque líquido final? (4) descrever a história de tensões (trajeto em tensão efetiva e efeito sobre pré-consolidação).

Passo 2

Vou lembrar e explicar as fórmulas e conceitos que vou usar (passo de “mini-aula”, bem mastigado):\n\n1) Índice de vazios e assentamento vertical: a relação entre variação do índice de vazios e variação de espessura é\n \Delta H = H\;\frac{\Delta e}{1+e_{\text{inicial}}},
onde \,\Delta e = e_{\text{final}}-e_{\text{inicial}}\,. Aqui \,e_{\text{inicial}}\, é o índice de vazios antes da mudança considerada. Se \,\Delta e<0\, temos compressão (assentamento positivo); se \,\Delta e>0\, temos rebaixamento de assentamento (heave).\n\n2) Compressibilidade em função do logaritmo da tensão efetiva (curva e vs \log_{10}\sigma'):\n- Para compressão virgem (quando a tensão final excede a pré-consolidação), usamos o índice \,C_c e a relação\n \Delta e = -\,C_c\;\log_{10}\!\left(\dfrac{\sigma'_{\text{final}}}{\sigma'_{\text{inicial}}}\right).\n- Para recompressão / descarga (ou aumento de tensão abaixo da pré-consolidação) usamos \,C_r e a mesma forma\n \Delta e = -\,C_r\;\log_{10}\!\left(\dfrac{\sigma'_{\text{final}}}{\sigma'_{\text{inicial}}}\right).\nExplicando: o sinal negativo vem porque, se \sigma'_{\text{final}}>\sigma'_{\text{inicial}} e usamos C_c, o log é positivo e \Delta e fica negativo (redução do índice de vazios = compressão). Se \sigma'_{\text{final}}<\sigma'_{\text{inicial}} durante descarga com C_r, o log é negativo e \Delta e>0 (recuperação de vazios = aumento de e).\n\n3) Sobre pré-consolidação e história tensional (conceito importante): a pré-consolidação \sigma'_p é a maior tensão efetiva já experimentada pela amostra. Uma vez que a camada for carregada até uma tensão maior que \sigma'_p, o valor de \sigma'_p aumenta para essa nova máxima. Após carregar além de \sigma'_p, a compressão é feita segundo a reta de compressão virgem ( C_c); ao descarregar desde um valor acima da nova \sigma'_p, a recuperação segue a reta de recompressão com inclinação C_r.

Passo 3

Aplicando ao primeiro evento: carregamento de \,\sigma'_0=200\\ \text{kPa} para \,\sigma'_1=350\\ \text{kPa}.\n\nComo \,\sigma'_1>\sigma'_0 e a amostra era inicialmente normalmente consolidada com \sigma'_p=\sigma'_0=200\\ \text{kPa}, o carregamento passa para compressão virgem e devemos usar \,C_c.\n\nCalcular a variação de índice de vazios \Delta e_1:\n \Delta e_1 = -\,C_c\;\log_{10}\!\left(\dfrac{350}{200}\right).\nAgora faço a conta passo a passo:\n \log_{10}\!\left(\dfrac{350}{200}\right)=\log_{10}(1{,}75)\approx 0{,}243038.\n \Delta e_1 = -\,0{,}37\times 0{,}243038 \approx -0{,}089924.\nPortanto o índice de vazios diminui cerca de -0{,}08992. Agora o assentamento correspondente (usando e_{\text{inicial}}=e_0=1{,}52):\n \Delta H_1 = H\;\frac{\Delta e_1}{1+e_0} = 4\;\frac{-0{,}089924}{1+1{,}52}.\nCalculo do denominador: 1+e_0=1+1{,}52=2{,}52.\n \Delta H_1 = 4\;\times\;\frac{-0{,}089924}{2{,}52}\approx -0{,}14273\\ \text{m}.\nO sinal negativo aqui indica redução de altura (assentamento). Convertendo: -0{,}14273\\ \text{m} = -142{,}73\\ \text{mm}. Ou seja, assentamento de \,0{,}1427\\ \text{m} (aprox. \,143\\ \text{mm},) para o carregamento inicial.

Passo 4

Atualizo o índice de vazios depois do carregamento (é importante porque o descarregamento usa esse e como referência):\n e_1 = e_0 + \Delta e_1 = 1{,}52 + (-0{,}089924) = 1{,}430076\\ (\text{aprox. }1{,}43008).\nTambém, pelo fato de termos atingido \sigma'=350\\ \text{kPa}, a nova pré-consolidação passa a ser \sigma'_p = 350\\ \text{kPa} (a camada já experimentou esse máximo).

Passo 5

Agora o descarregamento: a tensão cai de \sigma'_1=350\\ \text{kPa} para \sigma'_{\text{final}}=150\\ \text{kPa} (queda de \,200\\ \text{kPa}). Como estamos descarregando, a variação de vazios segue a reta de recompressão com \,C_r=0{,}08. Aplicamos a fórmula de variação de e:\n \Delta e_2 = -\,C_r\;\log_{10}\!\left(\dfrac{150}{350}\right).\nCalculo do logaritmo:\n \log_{10}\!\left(\dfrac{150}{350}\right)=\log_{10}\!\left(\dfrac{3}{7}\right)\approx -0{,}367977.\nEntão\n \Delta e_2 = -\,0{,}08\times(-0{,}367977)\approx +0{,}029438.\nOu seja, há um aumento do índice de vazios (recuperação parcial) de \,0{,}02944.\n\nO deslocamento vertical associado ao descarregamento (agora o índice de vazios inicial para essa etapa é e_1):\n \Delta H_2 = H\;\frac{\Delta e_2}{1+e_1} = 4\;\frac{0{,}029438}{1+1{,}430076}.\nCalculo do denominador: 1+e_1=1+1{,}430076=2{,}430076.\n \Delta H_2 = 4\;\times\;\frac{0{,}029438}{2{,}430076}\approx +0{,}04844\\ \text{m}.\nO sinal positivo aqui indica aumento de altura (heave) de aproximadamente \,0{,}04844\\ \text{m} (48,44 mm), ou seja, parte do assentamento anterior é recuperado.

Passo 6

Calcular o balanço (recalque líquido) e o índice de vazios final:\n\n1) Assentamento total devido ao carregamento (descida): \,s_{\text{compressão}}=0{,}14273\\ \text{m}ã.\n2) Recuperação ao descarregar (subida/heave): \,s_{\text{recuperada}}=0{,}04844\\ \text{m}.\n3) Assim, o recalque líquido final é\n s_{\text{líquido}} = s_{\text{compressão}} - s_{\text{recuperada}} \approx 0{,}14273 - 0{,}04844 = 0{,}09429\\ \text{m}.íã\nEm milímetros: \,94{,}29\\ \text{mm} (aprox. \,94{,}3\\ \text{mm}).\n\nÍndice de vazios final:\n e_{\text{final}} = e_1 + \Delta e_2 = 1{,}430076 + 0{,}029438 = 1{,}459514\\ (\text{aprox. }1{,}45951).\nNota: \,e_{\text{final}}=1{,}45951<e_0=1{,}52\,, então houve compressão permanente (redução global do índice de vazios). Isso corresponde ao recalque líquido calculado acima.

Passo 7

Descrição da história de tensões (resumida e comentada, passo a passo, como desenharia no eixo \log\sigma' vs e):\n- Estado inicial: \,\sigma'_0=200\\ \text{kPa}, e_0=1{,}52. A pré-consolidação inicial é \sigma'_p=200\\ \text{kPa} (solo normalmente consolidado).\n- Carregamento até \,\sigma'=350\\ \text{kPa}: o ponto desloca-se ao longo da reta de compressão virgem com inclinação -C_c em e vs \log_{10}\sigma'. Resultado: redução do e para \approx 1{,}43008. Ao atingir \,350\\ \text{kPa} a nova pré-consolidação passa a ser \sigma'_p=350\\ \text{kPa} (o solo agora “recordou” essa máxima tensão).\n- Descarregamento até \,\sigma'=150\\ \text{kPa}: o processo segue a reta de recompressão com inclinação -C_r (mais suave que a de compressão virgem). O e aumenta parcialmente para \approx 1{,}45951, mas não retorna ao valor inicial porque parte da deformação foi plástica (virgin compression). Portanto há uma compactação permanente.\n- Estado final: \sigma'_{\text{final}}=150\\ \text{kPa}, \sigma'_p atual é \,350\\ \text{kPa} (porque o solo já foi carregado até esse valor). Então na condição final o solo está sobreconsolidado relativamente à tensão atual; o índice de sobreconsolidação é\n \text{OCR}_{\text{final}}=\dfrac{\sigma'_p}{\sigma'_{\text{final}}}=\dfrac{350}{150}\approx 2{,}33.

Resposta

Assentamento devido ao incremento de \,150\\ \text{kPa}: 0{,}14273\\ \text{m} (142,7 mm)\n Recuperação (heave) ao descarregar \,200\\ \text{kPa}: 0{,}04844\\ \text{m} (48,4 mm) — parte do assentamento é recuperada\n Recalque líquido final: 0{,}09429\\ \text{m} (94,3 mm) para baixo\n História de tensões (resumo): inicia em \sigma'=200\\ \text{kPa} (NC), carrega até \sigma'=350\\ \text{kPa} seguindo C_c (compressão virgem) — nova \sigma'_p=350\\ \text{kPa} — depois descarrega até \sigma'=150\\ \text{kPa} seguindo C_r (recompressão); estado final com \sigma'_{\text{final}}=150\\ \text{kPa} e \sigma'_p=350\\ \text{kPa} (OCR final \approx 2{,}33).

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