Um aterro foi construído sobre uma argila mole saturada, tendo-se previsto que o recalque total seria de 50 cm . Um piezômetro colocado no centro da camada indicou, logo após a construção, uma sobre-pressão neutra de 30 kPa ( 3 m de coluna d’água), que correspondia ao peso transmitido pelo aterro (
com
).Sabia-se que a drenagem seria tanto na face inferior quanto na face superior da argila mole. Vinte dias depois o piezômetro indicava uma sobre-pressão de 20 kPa ( 2 m de coluna d’água). Para que data pode ser previsto que os recalques atingirão 45 cm ?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma previsão do tempo em que os recalques atingirã o
cm:
- Recalque total previsto:
cm (ou seja, quando o recalque é cm). - Excesso de pressão inicial logo após a construção:
. - Leitura do piezômetro no centro da camada após
dias: . - Informação: drenagem em ambas as faces da camada de argila (drenagem dupla).
- Pergunta: para que data (ou seja, após quantos dias desde a construção) os recalques atingirão
cm (isto é, do recalque total)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
- Grau de consolidação médio
é a fração do recalque final já alcançada em tempo . Se o recalque final é , o recalque em é . Aqui . - Para carregamento uniforme sobre uma camada com drenagem em ambas as faces, a redução do excesso de pressão média está ligada a
por:
onde
é a pressão média de poros em tempo
e
é a pressão de poros inicial (logo após a carga).
- As soluções analíticas de Terzaghi fornecem séries para
no centro e para . Trabalhamos com as formas padrão (séries) e, por simplicidade prática (e porque os termos seguintes são muito pequenos), usaremos a aproximação pelo primeiro termo das séries. As fórmulas aproximadas (primeiro termo) que usaremos são:
- Aqui
é o fator de tempo adimensional definido por
onde
é o coeficiente de consolidação e
é a espessura (na formulação usada o fator está consistente com as séries adotadas). O ponto importante:
é proporcional a
, então podemos usar a proporcionalidade entre tempos quando conhecemos
em um instante e queremos outro, sem precisar conhecer
ou
separadamente.
Passo 3
Determinar
correspondente a
dias usando a leitura do piezômetro no centro.
- Do enunciado:
- Usando a aproximação pelo primeiro termo:
Resolvendo para
:
Tirando ln e isolando
:
Calculemos numericamente:
Passo 4
Verificação (opcional, útil para intuir a situação): grau de consolidação médio em
dias.
- Usando a fórmula aproximada para
:
Substituindo
:
Logo
O recalque já ocorrido em
dias é
(Isto é só para termos noção — a leitura do piezômetro no centro é consistente com
de consolidação média.)
Passo 5
Determinar o
necessário para que
(isto é, para
cm de recalque).
- Queremos
. Pela aproximação do primeiro termo:
Isolando a exponencial:
Numericamente:
Tirando ln e isolando
:
Passo 6
Passo final: transformar os fatores de tempo
em tempo real usando a proporcionalidade entre
e
.
- Como
, para uma mesma camada e mesmo coeficiente vale:
Portanto
- Em outras palavras: os
cm (ou do recalque) serão atingidos por volta de dias após a construção. Como já se passaram dias, faltam aproximadamente dias (ou, arredondando, cerca de dias) a partir do instante da medição.
Resposta
Aproximadamente
dias após a construção (ou cerca de
dias a partir dos
dias já decorridos).