Um aterro foi construído sobre uma argila mole saturada, tendo-se previsto que o recalque total seria de 50 cm . Um piezômetro colocado no centro da camada indicou, logo após a construção, uma sobre-pressão neutra de 30 kPa ( 3 m de coluna d’água), que correspondia ao peso transmitido pelo aterro ( 1,5 \mathrm{~m} com \gamma_{\mathrm{n}}=20 \mathrm{kpa} ).Sabia-se que a drenagem seria tanto na face inferior quanto na face superior da argila mole. Vinte dias depois o piezômetro indicava uma sobre-pressão de 20 kPa ( 2 m de coluna d’água). Para que data pode ser previsto que os recalques atingirão 45 cm ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma previsão do tempo em que os recalques atingirã o 45 cm:
  • Recalque total previsto: 50 cm (ou seja, quando U=1 o recalque é 50 cm).
  • Excesso de pressão inicial logo após a construção: \;u_0=30\\ \text{kPa}.
  • Leitura do piezômetro no centro da camada após 20 dias: \;u(20)=20\\ \text{kPa}.
  • Informação: drenagem em ambas as faces da camada de argila (drenagem dupla).
  • Pergunta: para que data (ou seja, após quantos dias desde a construção) os recalques atingirão 45 cm (isto é, 90\% do recalque total)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
  • Grau de consolidação médio \;U(t) é a fração do recalque final já alcançada em tempo t. Se o recalque final é s_{\infty}, o recalque em t é s(t)=U(t)\,s_{\infty}. Aqui s_{\infty}=50\\ \text{cm}.
  • Para carregamento uniforme sobre uma camada com drenagem em ambas as faces, a redução do excesso de pressão média está ligada a U por:
1-U(t)=\frac{u_{\text{média}}(t)}{u_0}é
onde u_{\text{média}}(t)é é a pressão média de poros em tempo t e u_0 é a pressão de poros inicial (logo após a carga).
  • As soluções analíticas de Terzaghi fornecem séries para u no centro e para u_{\text{média}}é. Trabalhamos com as formas padrão (séries) e, por simplicidade prática (e porque os termos seguintes são muito pequenos), usaremos a aproximação pelo primeiro termo das séries. As fórmulas aproximadas (primeiro termo) que usaremos são:
\frac{u_{\text{centro}}(t)}{u_0}\approx \frac{4}{\pi}\,\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_v}
1-U(t)\approx \frac{8}{\pi^{2}}\,\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_v}
  • Aqui T_v é o fator de tempo adimensional definido por
T_v=\frac{c\,t}{H^{2}},
onde c é o coeficiente de consolidação e H é a espessura (na formulação usada o fator está consistente com as séries adotadas). O ponto importante: T_v é proporcional a t, então podemos usar a proporcionalidade entre tempos quando conhecemos T_v em um instante e queremos outro, sem precisar conhecer c ou H separadamente.

Passo 3

Determinar T_v correspondente a t=20 dias usando a leitura do piezômetro no centro.
  • Do enunciado:
\frac{u_{\text{centro}}(20)}{u_0}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.
  • Usando a aproximação pelo primeiro termo:
\frac{2}{3}\approx \frac{4}{\pi}\,\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,20}}.
Resolvendo para \mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,20}}:
\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,20}}\approx \frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}.
Tirando ln e isolando T_{v,20}:
-\pi^{2}T_{v,20}=\ln\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\quad\Rightarrow\quad T_{v,20}=-\frac{1}{\pi^{2}}\ln\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Calculemos numericamente:
\ln\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\approx -0{,}647026,\quad \pi^{2}\approx 9{,}8696,
T_{v,20}\approx \frac{0{,}647026}{9{,}8696}\approx 0{,}0656.

Passo 4

Verificação (opcional, útil para intuir a situação): grau de consolidação médio em t=20 dias.
  • Usando a fórmula aproximada para 1-U:
1-U_{20}\approx \frac{8}{\pi^{2}}\,\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,20}}.
Substituindo \mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,20}}=\pi/6:
1-U_{20}\approx \frac{8}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{8}{6\pi}=\frac{4}{3\pi}\approx 0{,}4244.
Logo
U_{20}\approx 1-0{,}4244\approx 0{,}5756\quad(\text{ou }57{,}6\%).
O recalque já ocorrido em 20 dias é
s(20)=U_{20}\,s_{\infty}\approx 0{,}5756\times 50\\ \text{cm}\approx 28{,}8\\ \text{cm}.
(Isto é só para termos noção — a leitura do piezômetro no centro é consistente com \sim58\% de consolidação média.)

Passo 5

Determinar o T_v necessário para que U=0{,}9 (isto é, para 45 cm de recalque).
  • Queremos 1-U=0{,}1. Pela aproximação do primeiro termo:
0{,}1\approx \frac{8}{\pi^{2}}\,\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,\;90\%}}.
Isolando a exponencial:
\mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,\;90\%}}\approx 0{,}1\cdot\frac{\pi^{2}}{8}.
Numericamente:
\frac{\pi^{2}}{8}\approx 1{,}2337005,\quad\text{então}\quad \mathrm{e}^{-\pi^{2}T_{v,\;90\%}}\approx 0{,}12337005.ã
Tirando ln e isolando T_{v,\;90\%}:
-\pi^{2}T_{v,\;90\%}=\ln(0{,}12337005)\approx -2{,}091864,
T_{v,\;90\%}\approx \frac{2{,}091864}{9{,}8696}\approx 0{,}2120.

Passo 6

Passo final: transformar os fatores de tempo T_v em tempo real usando a proporcionalidade entre T_v e t.
  • Como T_v=\dfrac{c\,t}{H^{2}}, para uma mesma camada e mesmo coeficiente c vale:
\frac{t_{90\%}}{t_{20}}=\frac{T_{v,\;90\%}}{T_{v,20}}.
Portanto
t_{90\%}=20\\ \text{dias}\times\frac{0{,}2120}{0{,}0656}\approx 20\times 3{,}233\approx 64{,}7\\ \text{dias}.
  • Em outras palavras: os 45 cm (ou 90\% do recalque) serão atingidos por volta de 64{,}7 dias após a construção. Como já se passaram 20 dias, faltam aproximadamente 64{,}7-20\approx 44{,}7 dias (ou, arredondando, cerca de 45 dias) a partir do instante da medição.

Resposta

Aproximadamente 65 dias após a construção (ou cerca de 45 dias a partir dos 20 dias já decorridos).

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