Um ensaio de adensamento foi realizado com uma amostra de argila de 2,5 \mathrm{~cm} de espessura, duplamente drenada. O tempo necessário para atingir uma porcentagem média de adensamento de 50 \% foi de 20 minutos. Pede-se o coeficiente de adensamento e o tempo para uma camada da mesma argila, com 3 m de espessura e drenagem simples, atingir 90 \% de recalque?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar tudo direitinho para a gente não se perder):
  • Espessura da amostra do ensaio: 2,5\\ \mathrm{cm}.
  • Condição do ensaio: drenagem dupla.
  • Tempo observado para atingir 50\% de adensamento (grau médio de adensamento U=0,5): 20\\ \mathrm{min}.
  • Pedem:
    1. O coeficiente de adensamento c_v da argila.
    2. O tempo necessário para uma camada da mesma argila, com espessura 3\\ \mathrm{m} e drenagem simples, atingir 90\% de recalque (ou seja, U=0,9).
Estas são todas as informações que vamos usar.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aulas rápidas para não ficar perdido):
  • A teoria de Terzaghi para adensamento unidimensional usa o chamado fator de tempo T_v, que relaciona o tempo t, o coeficiente de adensamento c_v e o caminho de drenagem H_{dr} pela fórmula
T_v=\frac{c_v\,t}{H_{dr}^{2}}.
Aqui:
  • T_v é um número tabulado que depende do grau de adensamento médio U (tem-se gráficos/tabelas ou soluções em série que dão T_v para cada U);
  • c_v é o coeficiente de adensamento que queremos;
  • t é o tempo (mesma unidade que usaremos para c_v);
  • H_{dr} é o caminho máximo de drenagem (a distância que a água tem que percorrer até o ponto drenado).
  • Como definir H_{dr}:
    • Para drenagem dupla (topo e base drenantes) o caminho de drenagem máximo é metade da espessura: H_{dr}=H/2.
    • Para drenagem simples (apenas um lado drenante) o caminho de drenagem máximo é a espessura total: H_{dr}=H.
  • Valores usuais do fator de tempo T_v (da solução padrão de Terzaghi):
    • Para U=0,5: T_v\approx 0,197.
    • Para U=0,9: T_v\approx 0,848.
      Esses números vêm das tabelas/curvas clássicas de adensamento (não precisamos deduzir a série aqui; usamos os valores tabelados).

Passo 3

Calcular c_v a partir do ensaio (dados do enunciado):
  • Converter a espessura para metros: 2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Como o ensaio é de drenagem dupla:
H_{dr}=\frac{H}{2}=\frac{0,025}{2}=0,0125\\ \mathrm{m}.
  • Usamos o caso U=0,5\Rightarrow T_v=0,197 e o tempo t=20\\ \mathrm{min}.
  • A fórmula rearranjada para c_v é
c_v=\frac{T_v\,H_{dr}^2}{t}.
  • Calcule H_{dr}^2:
H_{dr}^2=(0,0125)^2=0,00015625\\ \mathrm{m}^2.
  • Multiplicando por T_v:
T_v\,H_{dr}^2=0,197\times0,00015625=0,00003078125\\ \mathrm{m}^2.
  • Dividindo por t=20\\ \mathrm{min}:
c_v=\frac{0,00003078125}{20}=1,5390625\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{min}.
  • Se quisermos em unidades SI (m^2/s), divide-se por 60:
c_v= \frac{1,5390625\times10^{-6}}{60}=2,56510417\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Arredondando de forma prática:
c_v\approx 1,54\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{min}\quad\text{ou}\quad c_v\approx 2,57\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o tempo para a camada de 3\\ \mathrm{m}, drenagem simples, atingir U=0,9:
  • Espessura H=3\\ \mathrm{m}. Para drenagem simples:
H_{dr}=H=3\\ \mathrm{m}.
  • Para U=0,9\Rightarrow T_v=0,848.
  • Usamos a mesma fórmula, agora resolvendo para t:
t=\frac{T_v\,H_{dr}^2}{c_v}.
  • Calcule H_{dr}^2:
H_{dr}^2=3^2=9\\ \mathrm{m}^2.
  • Numerador:
T_v\,H_{dr}^2=0,848\times9=7,632.
  • Usando c_v em \mathrm{m}^2/\mathrm{min} (para obter t em minutos): c_v=1,5390625\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{min}. Então
t=\frac{7,632}{1,5390625\times10^{-6}}=4,961,280\\ \mathrm{min}\approx 4,96\times10^{6}\\ \mathrm{min}.
  • Converter para dias e anos:
    • Em dias: \displaystyle \frac{4,961,280}{60\times24}=\frac{4,961,280}{1440}\approx3444\\ \mathrm{dias}.
    • Em anos: \displaystyle \frac{3444}{365}\approx9,44\\ \mathrm{anos}.
  • Se preferir em segundos (usando c_v em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}): dá o mesmo resultado numérico, cerca de 2,98\times10^{8}\\ \mathrm{s}, que corresponde a ~ 9,44\\ \mathrm{anos}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo (tipo aquele empurrãozinho amigo):
  • O resultado é grande (vários anos) porque a camada considerada é muito mais espessa ( 3\\ \mathrm{m}) e ainda tem drenagem simples (a água tem que percorrer 3 m), então o adensamento demora muito mais que no ensaio de laboratório (amostra fina, drenagem dupla). Isso é normal em engenharia de solos — camadas grossas e drenagem limitada geram tempos longos de consolidação.
  • Você agora tem o procedimento: a ideia-chave é sempre identificar corretamente H_{dr}, usar o T_v correspondente ao U desejado e aplicar \;T_v=c_v t/H_{dr}^{2}\; para achar c_v ou t.

Resposta

c_v\approx 1,54\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{min} (ou 2,57\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).\n t\approx 4,96\times10^{6}\\ \mathrm{min}\approx 3444\\ \mathrm{dias}\approx 9,44\\ \mathrm{anos} (para U=90\%, H=3\\ \mathrm{m}, drenagem simples).

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