Ao atingir o ponto mais alto do passeio panorâmico, o visitante pode optar por finalizar o passeio percorrendo uma trilha até o ponto de apoio. Encontre o vetor que representa a direção a ser seguida a partir desse ponto e a taxa de variação correspondente da altitude. O trajeto inicial ocorre em subida ou descida? Justifique.
TRABALHE COM 3 CASAS DECIMAIS

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar o vetor que representa a direção a ser seguida a partir do ponto mais alto até o ponto de apoio.
  • Calcular a taxa de variação correspondente da altitude nessa direção.
  • Dizer se o trajeto inicial ocorre em subida ou descida, com justificativa.
Informações dadas no enunciado:
  • Há um “ponto mais alto do passeio panorâmico” (ou seja, o visitante está num ponto de altitude máxima local).
  • O visitante pode seguir por uma “trilha até o ponto de apoio” (ou seja, há um ponto de apoio distinto para o qual se deseja ir).
Informações que faltam e que seriam necessárias para obter valores numéricos:
  • A função que descreve a altitude como função das coordenadas, por exemplo \;h(x,y)\;.
  • As coordenadas do ponto mais alto, que chamarei de \;P=(x_0,y_0)\;.
  • As coordenadas do ponto de apoio, que chamarei de \;Q=(x_1,y_1)\;.
Como essas quantidades numéricas não foram fornecidas, não é possível calcular valores numéricos finais. Vou, porém, explicar passo a passo o procedimento correto para calcular exatamente o que o enunciado pede (fórmulas, interpretação e o resultado qualitativo), e ilustrarei com um exemplo numérico concreto para você ver como aplicar no exame.

Passo 2

Modelagem e notação (padrão usado na solução).
  • Seja \;h(x,y)\; a função altitude (escalar) definida na região do passeio.
  • Seja o ponto mais alto \;P=(x_0,y_0)\;.
  • Seja o ponto de apoio \;Q=(x_1,y_1)\;.
    Essas letras são só notação — no exame você vai substituir pelos números que o enunciado der.
Agora, conceitos-chave que vamos usar (explicados devagar):
  1. Gradiente: \nabla h(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)\right).
Ele aponta na direção de máxima taxa de aumento de h. O módulo \|\nabla h\| é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.
  1. Vetor direção do caminho: o vetor que “aponta” de P para Q é
\vec v = Q-P = (x_1-x_0,\;y_1-y_0).
A direção unitária nessa direção é
\mathbf u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\frac{(x_1-x_0,\;y_1-y_0)}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}.
Esse \mathbf u é o vetor direção que deve ser seguido (versão normalizada).
  1. Derivada direcional (taxa de variação da altitude nessa direção): dada \mathbf u unitário, a taxa de variação instantânea de h em P na direção \mathbf u é
D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot \mathbf u.
Se D_{\mathbf u}h(P)>0 é subida, se <0 é descida, se =0 não há variação de primeira ordem (pelo menos instantaneamente).

Passo 3

Aplicando os conceitos ao “ponto mais alto”.
  • Por definição de ponto mais alto local (um extremo máximo interior), temos que \nabla h(P)=\mathbf{0} — isto é, todas as derivadas parciais valem zero no ponto crítico. (Se o enunciado diz explicitamente “ponto mais alto”, assumimos que é um máximo local; se for máximo numa fronteira, o raciocínio muda um pouco, mas a ideia do gradiente também é relevante.)
Logo, independentemente de quais sejam Q e P, o vetor direção unitário para seguir da posição P em direção a Q é
\mathbf u=\frac{(x_1-x_0,\;y_1-y_0)}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}.
E a taxa de variação da altitude nessa direção, pela fórmula da derivada direcional, é
D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot \mathbf u = \mathbf{0}\cdot \mathbf u = 0.
Portanto, a derivada direcional de primeira ordem é zero.

Passo 4

Interpretação geométrica e resposta à pergunta “trajeto inicial ocorre em subida ou descida?”
  • Resultado imediato (primeira ordem): como D_{\mathbf u}h(P)=0, o movimento infinitesimal inicial a partir de P não aumenta nem diminui a altitude em termos de taxa linear — o plano tangente em P é horizontal. Em linguagem direta: instantaneamente (ordem 1) NÃO é subida nem descida — a derivada direcional é zero.
  • Resultado para deslocamentos pequenos (segunda ordem): se P for um máximo local estrito, então a matriz Hessiana H de h em P é definida negativa, e o desenvolvimento de Taylor em torno de P dá:
h(P+\mathbf w)=h(P)+\nabla h(P)\cdot\mathbf w + \tfrac12\,\mathbf w^T H \mathbf w + o(\|\mathbf w\|^2).
Como \nabla h(P)=\mathbf0, o termo dominante para pequenos deslocamentos é \tfrac12\,\mathbf w^T H \mathbf w, e se H é negativa definida então \mathbf w^T H \mathbf w<0 para todo \mathbf w\neq\mathbf0. Logo, qualquer deslocamento pequeno (em qualquer direção) diminui h: ou seja, imediatamente após partir do ponto mais alto, a altitude decresce — o trajeto é de descida (em termos práticos, a altitude vai diminuir para qualquer pequeno passo).
  • Observação importante: se o ponto fosse um ponto de sela (não máximo), o gradiente também poderia ser \mathbf0 mas haveriam direções de subida e descida; por isso é essencial saber se P é realmente um máximo. O enunciado diz “ponto mais alto”, então a conclusão usual é que é um máximo e, portanto, após partir ocorre descida (apesar da derivada direcional instantânea ser zero).

Passo 5

Resumo do procedimento que você deve aplicar no exame (passo a passo concreto):
  1. Identifique ou escreva P=(x_0,y_0) e Q=(x_1,y_1) (pegar do enunciado ou da figura).
  2. Calcule o vetor que liga P a Q:
\vec v=(x_1-x_0,\;y_1-y_0).
  1. Normalize para obter a direção unitária:
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\frac{(x_1-x_0,\;y_1-y_0)}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}.
  1. Calcule \nabla h(x,y) e avalie em P para obter \nabla h(P).
  2. Calcule a derivada direcional:
D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot\mathbf u.
  1. Interprete o sinal de D_{\mathbf u}h(P). Se o enunciado afirma que P é o ponto mais alto local, então \nabla h(P)=\mathbf0 e D_{\mathbf u}h(P)=0. Para decidir se pequenas caminhadas descem, verifique a natureza do ponto com a Hessiana: se H for negativa definida, todo deslocamento pequeno reduz h (descida).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para ver números com 3 casas decimais).
  • Suponha \;h(x,y)=10-x^2-y^2\;. Esse é um exemplo clássico com máximo em P=(0,0).
  • Seja o ponto de apoio Q=(1,0).
Cálculos:
\vec v = Q-P = (1-0,\;0-0)=(1,0).
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+0^2}=1.
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=(1,0).
Gradiente:
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(10-x^2-y^2),\;\frac{\partial}{\partial y}(10-x^2-y^2)\right)=(-2x,\,-2y).
\nabla h(P)=\nabla h(0,0)=(0,0).
Derivada direcional:
D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot\mathbf u=(0,0)\cdot(1,0)=0.
Hessiana:
H=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix},
que é negativa definida. Então qualquer deslocamento pequeno reduz h. Por exemplo, para um passo pequeno \mathbf w=0{,}1\cdot\mathbf u=(0{,}1,0) (note a vírgula decimal):
\Delta h \approx \tfrac12\,\mathbf w^T H \mathbf w = \tfrac12\,(0{,}1)^2(-2) = -0{,}010.
Arredondando a três casas decimais dá -0{,}010. Isso ilustra que, embora a derivada direcional inicial seja 0, a altitude desce logo a seguir (variação negativa de segunda ordem).]

Resposta

\displaystyle \mathbf{u}=\frac{(x_1-x_0,\;y_1-y_0)}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}
\displaystyle D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot\mathbf u=0
Trajeto inicial: em termos de derivada de primeira ordem, nem subida nem descida (derivada direcional =0); porém, se P é um máximo local estrito (como dito no enunciado), então qualquer pequeno deslocamento diminui a altitude — portanto, na prática, o caminho é de descida.

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