Ao atingir o ponto mais alto do passeio panorâmico, o visitante pode optar por finalizar o passeio percorrendo uma trilha até o ponto de apoio. Encontre o vetor que representa a direção a ser seguida a partir desse ponto e a taxa de variação correspondente da altitude. O trajeto inicial ocorre em subida ou descida? Justifique.
TRABALHE COM 3 CASAS DECIMAIS
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar o vetor que representa a direção a ser seguida a partir do ponto mais alto até o ponto de apoio.
- Calcular a taxa de variação correspondente da altitude nessa direção.
- Dizer se o trajeto inicial ocorre em subida ou descida, com justificativa.
Informações dadas no enunciado:
- Há um “ponto mais alto do passeio panorâmico” (ou seja, o visitante está num ponto de altitude máxima local).
- O visitante pode seguir por uma “trilha até o ponto de apoio” (ou seja, há um ponto de apoio distinto para o qual se deseja ir).
Informações que faltam e que seriam necessárias para obter valores numéricos:
- A função que descreve a altitude como função das coordenadas, por exemplo
. - As coordenadas do ponto mais alto, que chamarei de
. - As coordenadas do ponto de apoio, que chamarei de
.
Como essas quantidades numéricas não foram fornecidas, não é possível calcular valores numéricos finais. Vou, porém, explicar passo a passo o procedimento correto para calcular exatamente o que o enunciado pede (fórmulas, interpretação e o resultado qualitativo), e ilustrarei com um exemplo numérico concreto para você ver como aplicar no exame.
Passo 2
Modelagem e notação (padrão usado na solução).
- Seja
a função altitude (escalar) definida na região do passeio. - Seja o ponto mais alto
. - Seja o ponto de apoio
.
Essas letras são só notação — no exame você vai substituir pelos números que o enunciado der.
Agora, conceitos-chave que vamos usar (explicados devagar):
- Gradiente:
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Ele aponta na direção de máxima taxa de aumento de
. O módulo
é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.
- Vetor direção do caminho: o vetor que “aponta” de
para é
A direção unitária nessa direção é
Esse
é o vetor direção que deve ser seguido (versão normalizada).
- Derivada direcional (taxa de variação da altitude nessa direção): dada
unitário, a taxa de variação instantânea de em na direção é
Se
é subida, se
é descida, se
não há variação de primeira ordem (pelo menos instantaneamente).
Passo 3
Aplicando os conceitos ao “ponto mais alto”.
- Por definição de ponto mais alto local (um extremo máximo interior), temos que
— isto é, todas as derivadas parciais valem zero no ponto crítico. (Se o enunciado diz explicitamente “ponto mais alto”, assumimos que é um máximo local; se for máximo numa fronteira, o raciocínio muda um pouco, mas a ideia do gradiente também é relevante.)
Logo, independentemente de quais sejam
e
, o vetor direção unitário para seguir da posição
em direção a
é
E a taxa de variação da altitude nessa direção, pela fórmula da derivada direcional, é
Portanto, a derivada direcional de primeira ordem é zero.
Passo 4
Interpretação geométrica e resposta à pergunta “trajeto inicial ocorre em subida ou descida?”
-
Resultado imediato (primeira ordem): como
, o movimento infinitesimal inicial a partir de não aumenta nem diminui a altitude em termos de taxa linear — o plano tangente em é horizontal. Em linguagem direta: instantaneamente (ordem 1) NÃO é subida nem descida — a derivada direcional é zero. -
Resultado para deslocamentos pequenos (segunda ordem): se
for um máximo local estrito, então a matriz Hessiana de em é definida negativa, e o desenvolvimento de Taylor em torno de dá:
Como
, o termo dominante para pequenos deslocamentos é
, e se
é negativa definida então
para todo
. Logo, qualquer deslocamento pequeno (em qualquer direção) diminui
: ou seja, imediatamente após partir do ponto mais alto, a altitude decresce — o trajeto é de descida (em termos práticos, a altitude vai diminuir para qualquer pequeno passo).
- Observação importante: se o ponto fosse um ponto de sela (não máximo), o gradiente também poderia ser
mas haveriam direções de subida e descida; por isso é essencial saber se é realmente um máximo. O enunciado diz “ponto mais alto”, então a conclusão usual é que é um máximo e, portanto, após partir ocorre descida (apesar da derivada direcional instantânea ser zero).
Passo 5
Resumo do procedimento que você deve aplicar no exame (passo a passo concreto):
- Identifique ou escreva
e (pegar do enunciado ou da figura). - Calcule o vetor que liga
a :
- Normalize para obter a direção unitária:
- Calcule
e avalie em para obter . - Calcule a derivada direcional:
- Interprete o sinal de
. Se o enunciado afirma que é o ponto mais alto local, então e . Para decidir se pequenas caminhadas descem, verifique a natureza do ponto com a Hessiana: se for negativa definida, todo deslocamento pequeno reduz (descida).
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (para ver números com 3 casas decimais).
- Suponha
. Esse é um exemplo clássico com máximo em . - Seja o ponto de apoio
.
Cálculos:
Gradiente:
Derivada direcional:
Hessiana:
que é negativa definida. Então qualquer deslocamento pequeno reduz
. Por exemplo, para um passo pequeno
(note a vírgula decimal):
Arredondando a três casas decimais dá
. Isso ilustra que, embora a derivada direcional inicial seja
, a altitude desce logo a seguir (variação negativa de segunda ordem).]
Resposta
Trajeto inicial: em termos de derivada de primeira ordem, nem subida nem descida (derivada direcional