Considere, em cada questão, a curva
dada por
Calcule a integral vetorial
isto é, integre separadamente cada coordenada.
Seja
Calcule
Seja
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
Pede-se calcular a integral vetorial
ou seja, integrar separadamente cada coordenada e apresentar a primitiva vetorial (incluindo a constante de integração apropriada).
Passo 2
Regra básica (o que iremos aplicar): a integral de uma função vetorial obtém-se integrando cada componente separadamente. Formalmente, se
então
onde
é uma constante vetorial (duas constantes escalares, uma para cada componente). Aqui
com
.
Passo 3
Vamos integrar a primeira componente
.
Técnica escolhida: substituição (método padrão quando aparece algo na forma ou quando se vê
com
multiplicando).
Defina a substituição
Técnica escolhida: substituição (método padrão quando aparece algo na forma
Defina a substituição
Então
ou seja
. Assim a integral
fica, em termos de
,
Passo 4
Calcule a integral em
:
Voltando a
usando
, obtemos
onde
é a constante de integração correspondente à primeira componente.
Passo 5
Agora integramos a segunda componente
.
Técnica escolhida: integração por partes, que é útil quando temos produto de funções como e
.
Fórmula de integração por partes (lembrando e explicando):
se é a integral, então
Técnica escolhida: integração por partes, que é útil quando temos produto de funções como
Fórmula de integração por partes (lembrando e explicando):
se
onde
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
Passo 6
Aplicando integração por partes a
. Escolha prática:
Então
Pelo fórmula,
A integral restante é
. Logo
onde
é a constante de integração da segunda componente.
Passo 7
Juntando as primitivas das duas componentes e escrevendo a constante vetorial
, a integral vetorial é
Passo 8
Verificação rápida (útil em prova): derivando a primitiva obtida deve-se recuperar
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
Isso confirma que a derivada da primitiva é exatamente
, como esperado.