Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Calcule a integral vetorial
\int \alpha(t) d t
isto é, integre separadamente cada coordenada.
Seja
\alpha(t)=\left(2 t \cos \left(t^{2}\right), t e^{t}\right)
Calcule
\int \alpha(t) d t

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha: U\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=(x(t),y(t))=(2t\cos(t^2),\;t e^{t}).
Pede-se calcular a integral vetorial
\int \alpha(t)\,dt,
ou seja, integrar separadamente cada coordenada e apresentar a primitiva vetorial (incluindo a constante de integração apropriada).

Passo 2

Regra básica (o que iremos aplicar): a integral de uma função vetorial obtém-se integrando cada componente separadamente. Formalmente, se
\alpha(t)=(x(t),y(t)),
então
\int \alpha(t)\,dt=\left(\int x(t)\,dt,\;\int y(t)\,dt\right)+\mathbf{C},
onde \mathbf{C} é uma constante vetorial (duas constantes escalares, uma para cada componente). Aqui \mathbf{C}=(C_1,C_2) com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Passo 3

Vamos integrar a primeira componente x(t)=2t\cos(t^2).
Técnica escolhida: substituição (método padrão quando aparece algo na forma f'(t)\,f(t) ou quando se vê t^2 com 2t multiplicando).
Defina a substituição
u=t^2.
Então
du=2t\,dt,
ou seja 2t\,dt=du. Assim a integral
\int 2t\cos(t^2)\,dt
fica, em termos de u,
\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Calcule a integral em u:
\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C.
Voltando a t usando u=t^2, obtemos
\int 2t\cos(t^2)\,dt=\sin(t^2)+C_1,
onde C_1 é a constante de integração correspondente à primeira componente.

Passo 5

Agora integramos a segunda componente y(t)=t e^{t}.
Técnica escolhida: integração por partes, que é útil quando temos produto de funções como t e e^{t}.
Fórmula de integração por partes (lembrando e explicando):
se \displaystyle \int u\,dv é a integral, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du é a derivada de u vezes dt e v é uma primitiva de dv.

Passo 6

Aplicando integração por partes a \int t e^{t}\,dt. Escolha prática:
u=t,\qquad dv=e^{t}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=\int e^{t}\,dt=e^{t}.
Pelo fórmula,
\int t e^{t}\,dt = u v - \int v\,du = t e^{t} - \int e^{t}\,dt.
A integral restante é \int e^{t}\,dt=e^{t}. Logo
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C_2 = e^{t}(t-1)+C_2,
onde C_2 é a constante de integração da segunda componente.

Passo 7

Juntando as primitivas das duas componentes e escrevendo a constante vetorial \mathbf{C}=(C_1,C_2), a integral vetorial é
\int \alpha(t)\,dt=\big(\sin(t^2)+C_1,\;e^{t}(t-1)+C_2\big).

Passo 8

Verificação rápida (útil em prova): derivando a primitiva obtida deve-se recuperar \alpha(t).
Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\sin(t^2)=\cos(t^2)\cdot 2t=2t\cos(t^2),
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t-1)\big)=e^{t}(t-1)+e^{t}\cdot 1 = t e^{t}.
Isso confirma que a derivada da primitiva é exatamente \alpha(t), como esperado.

Resposta

\displaystyle \int \alpha(t)\,dt=\big(\sin(t^2)+C_1,\;e^{t}(t-1)+C_2\big)

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