Considere, em cada questão, a curva
dada por
Determine o comprimento da curva
Use a fórmula
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
e pede para calcular o comprimento da curva usando a fórmula
Informações relevantes dadas:
- As componentes
e . - O intervalo do parâmetro é
. - A fórmula a usar para comprimento é
.
Passo 2
Vou lembrar o que significa
. Para uma curva plana
, a derivada é
e a norma é
Isso mede a velocidade da curva no instante
. O comprimento total é a integral da velocidade ao longo do intervalo do parâmetro.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes. Lembrando que
e
, obtemos
Passo 4
Calcular a norma
. Primeiro o quadrado da norma:
Fatorando o
,
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica fundamental
. Assim
portanto
Observação: a velocidade é constante igual a
para todo
no intervalo; isso facilita muito a integral.
Passo 6
Calcular o comprimento pela integral da velocidade constante:
A integral de uma constante é a constante vezes o comprimento do intervalo, então
Passo 7
Interpretação geométrica (confirmação rápida): a curva é a parametrização do quarto de círculo de raio
(porque
descreve um círculo de raio
quando
varia), e o comprimento do quarto de círculo é
da circunferência
, ou seja
. Isso confirma o resultado obtido pela integral.