Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Determine o comprimento da curva
\alpha(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t)), \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}
Use a fórmula
L=\int_{a}^{b}\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\| d t

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha: [0,\tfrac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=(x(t),y(t))=(2\cos(t),\,2\sin(t)), \qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2},
e pede para calcular o comprimento da curva usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\left\|\alpha'(t)\right\|\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes x(t)=2\cos(t) e y(t)=2\sin(t).
  • O intervalo do parâmetro é t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A fórmula a usar para comprimento é \;L=\int_{0}^{\pi/2}\|\alpha'(t)\|\,dt.

Passo 2

Vou lembrar o que significa \left\|\alpha'(t)\right\|. Para uma curva plana \alpha(t)=(x(t),y(t)), a derivada é \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e a norma é
\left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Isso mede a velocidade da curva no instante t. O comprimento total é a integral da velocidade ao longo do intervalo do parâmetro.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes. Lembrando que \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t) e \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t), obtemos
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(2\cos(t)\big)=-2\sin(t), \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\big(2\sin(t)\big)=2\cos(t).

Passo 4

Calcular a norma \left\|\alpha'(t)\right\|. Primeiro o quadrado da norma:
(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}=(-2\sin(t))^{2}+(2\cos(t))^{2}=4\sin^{2}(t)+4\cos^{2}(t).
Fatorando o 4,
(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}=4\big(\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)\big).

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1. Assim
(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}=4\cdot 1=4,
portanto
\left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{4}=2.
Observação: a velocidade é constante igual a 2 para todo t no intervalo; isso facilita muito a integral.

Passo 6

Calcular o comprimento pela integral da velocidade constante:
L=\int_{0}^{\pi/2}\left\|\alpha'(t)\right\|\,dt=\int_{0}^{\pi/2} 2\,dt.
A integral de uma constante é a constante vezes o comprimento do intervalo, então
L=2\cdot\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Passo 7

Interpretação geométrica (confirmação rápida): a curva é a parametrização do quarto de círculo de raio 2 (porque (2\cos t,2\sin t) descreve um círculo de raio 2 quando t varia), e o comprimento do quarto de círculo é \tfrac{1}{4} da circunferência 2\pi\cdot 2, ou seja \tfrac{1}{4}\cdot 4\pi=\pi. Isso confirma o resultado obtido pela integral.

Resposta

\pi

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