Um atirador, com um rifle de 4 k g apoiado ao ombro, dispara uma bala de 25 g, cuja velocidade na boca da arma (extremidade do cano) é de 850 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Com que velocidade inicial a arma recua?
(b) Qual o valor do impulso transmitido ao ombro do atirador?
(c) Se o recuo é absorvido pelo ombro em 0,05 s, qual é a força média exercida sobre ele, em N ?

Passo 1

O enunciado faz três perguntas:
  1. (a) Com que velocidade inicial a arma recua?
  2. (b) Qual o valor do impulso transmitido ao ombro do atirador?
  3. (c) Se o recuo é absorvido pelo ombro em 0,05\\ \mathrm{s}, qual é a força média exercida sobre ele, em \mathrm{N}?
Informações dadas (valores numéricos que vamos usar):
\text{massa do rifle:}\quad m_g = 4\\ \mathrm{kg}
\text{massa da bala:}\quad m_b = 25\\ \mathrm{g} = 0,025\\ \mathrm{kg}
\text{velocidade da bala na boca do cano:}\quad v_b = 850\\ \mathrm{m/s}
\text{tempo de absorção do recuo pelo ombro:}\quad \Delta t = 0,05\\ \mathrm{s}çã

Passo 2

Conservação do momento linear (a ideia e a fórmula):
  • Em um sistema isolado (arma + bala) sem forças externas horizontais significativas durante o disparo, o momento linear total antes do disparo é igual ao momento linear total depois do disparo.
  • Momento linear de um corpo é dado por p = m v, onde m é a massa e v a velocidade.
  • Como o sistema estava em repouso antes do disparo, o momento inicial é zero. Depois do disparo, a bala segue para frente e a arma recua para trás; a soma dos momentos deve ser zero:
0 = m_b v_b + m_g v_g.
Aqui v_g é a velocidade da arma (será negativa se escolhermos a direção da bala como positiva).

Passo 3

Calcular a velocidade de recuo da arma usando a equação de conservação do momento:
0 = m_b v_b + m_g v_g \quad\Rightarrow\quad v_g = -\frac{m_b}{m_g}\,v_b.
Substituindo os valores (mostrando passo a passo a aritmética):
\frac{m_b}{m_g} = \frac{0,025}{4} = 0,00625.
v_g = -0,00625 \times 850.
v_g = -5,3125\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade da arma é -5,3125\\ \mathrm{m/s}, ou seja, 5,3125\\ \mathrm{m/s} para trás (se adotarmos a frente como positiva).

Passo 4

Definição e cálculo do impulso transmitido ao ombro:
  • Impulso I é a variação do momento linear: I = \Delta p.
  • Para a arma, a variação de momento é do estado inicial 0 para o momento final m_g v_g. Portanto:
I = m_g v_g - 0 = m_g v_g.
Como queremos normalmente o módulo do impulso transmitido ao ombro (sensação de impacto para trás), consideramos o valor absoluto.
Calculemos:
I = |m_g v_g| = 4 \times 5,3125 = 21,25\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Observação útil: dá o mesmo resultado calcular o momento da bala para frente, m_b v_b = 0,025\times 850 = 21,25\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, porque os momentos têm módulos iguais e sentidos opostos.

Passo 5

Força média aplicada ao ombro a partir do impulso e do tempo:
  • Relação entre impulso, força média e intervalo de tempo: I = F_{\text{média}}\\ \Delta té.
  • Logo,
F_{\text{média}} = \frac{I}{\Delta t}.é
Substituindo os valores:
F_{\text{média}} = \frac{21,25}{0,05} = 425\\ \mathrm{N}.é
Interpretação: a força média tem direção para trás (oposta à da bala), com módulo 425\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) -5,3125\\ \mathrm{m/s} (ou 5,3125\\ \mathrm{m/s} para trás)
(b) 21,25\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(c) 425\\ \mathrm{N}

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