A massa da Terra está em torno de m_{T}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, seu raio R_{T}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}, sua distância média ao Sol é R_{S}=1,49 \times 10^{11} \mathrm{~m}, seu período de rotação é de aproximadamente 24 h e seu período de translação em torno do sol é de aproximadamente 365 dias. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme e sua órbita em torno do Sol seja circular. Estime:
O momento angular da Terra relativo ao Sol.

Passo 1

O que o problema pede: estimar o momento angular da Terra em relação ao Sol (ou seja, o momento angular orbital da Terra ao redor do Sol).
Dados fornecidos (vou escrever tudo em forma clara):
m_{T}=5{,}98\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}
R_{S}=1{,}49\times 10^{11}\\ \mathrm{m}\quad\text{(distância média Terra–Sol)}âé
\text{período de translação }T_{\text{orb}} \approx 365\\ \text{dias}íçã
Além disso, o enunciado pede que assumamos órbita circular e Terra como esfera uniforme (a uniformidade aqui não é necessária para o momento angular orbital; só para caso quiséssemos comparar com o giro da Terra em torno do próprio eixo).

Passo 2

Escolha do modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma partícula de massa m descrevendo uma órbita circular de raio r com velocidade tangencial v, o momento angular em relação ao centro da órbita é
L = m\,v\,r.
Outra forma equivalente, usando a velocidade angular \omega (rad/s), é
L = m\,r^{2}\,\omega,
porque v=\omega r. Aqui:
  • L tem unidades \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}},
  • m é a massa da Terra,
  • r é a distância Terra–Sol (assumida constante),
  • \omega é a velocidade angular =2\pi/T_{\text{orb}}.
Essa fórmula é simples: momento angular é “massa × distância × componente de velocidade perpendicular à linha que liga ao ponto”, e para órbita circular a velocidade é totalmente perpendicular.

Passo 3

Converter o período orbital para segundos (para trabalhar no SI):
T_{\text{orb}} = 365\\ \text{dias}\times 24\\ \text{h/dia}\times 3600\\ \text{s/h}
T_{\text{orb}} = 365\times 24\times 3600 = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T_{\text{orb}}}=\frac{2\pi}{31\,536\,000\\ \mathrm{s}}.
Vamos calcular numericamente:
2\pi \approx 6{,}283185\quad\Rightarrow\quad \omega \approx \frac{6{,}283185}{3{,}1536\times 10^{7}} \approx 1{,}99\times 10^{-7}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular r^{2} e depois r^{2}\omega (para usar L=m r^{2}\omega):
r = R_{S}=1{,}49\times 10^{11}\\ \mathrm{m},
r^{2}=(1{,}49\times 10^{11})^{2}=1{,}49^{2}\times 10^{22}\approx 2{,}2201\times 10^{22}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando por \omega:
r^{2}\omega \approx 2{,}2201\times 10^{22}\times 1{,}99\times 10^{-7} \approx 4{,}43\times 10^{15}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.

Passo 6

Calcular o momento angular L:
L = m_{T}\,r^{2}\omega \approx (5{,}98\times 10^{24})\times (4{,}43\times 10^{15})
L \approx 5{,}98\times 4{,}43 \times 10^{39}\approx 26{,}5\times 10^{39}\approx 2{,}65\times 10^{40}\\ \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}.
Breve comentário motivador: pronto — chegamos ao valor estimado. Dá pra ver que a ordem de grandeza é enorme (por isso a Terra tem muito momento angular orbital). Se quiser, na prova você pode obter o mesmo resultado usando L=m v r com v=2\pi r/T; dá o mesmo número.

Resposta

L \approx 2{,}65\times 10^{40}\\ \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}

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