Atividade 8.1 Um amigo seu precisa de uma indutância de 2 H para um dos circuitos que está construindo. Você oferece a ele uma peça cilíndrica de material isolante de 30 cm de comprimento e 2 cm de raio para usar como núcleo. Quantas voltas de arame ele precisa para envolver este núcleo?

Passo 1

O enunciado pede que a gente descubra quantas voltas de arame são necessárias para obter uma indutância de 2\\ \mathrm{H} enrolando um núcleo cilíndrico isolante. Dados fornecidos:
L=2\\ \mathrm{H}
\text{comprimento do núcleo } l=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}ú
\text{raio do núcleo } r=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}ú
O núcleo é dito “isolante”, ou seja, presumimos que não é um material magnético (portanto a permeabilidade relativa \mu_r pode ser aproximada por 1).

Passo 2

Fórmula que relaciona a indutância de um solenóide longo com suas características e o número de voltas:
L=\mu_0\,\mu_r\,\frac{N^2 A}{l}
Explicando cada termo de forma simples:
  • L é a indutância desejada (em henries, \mathrm{H}).
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. É uma constante física.
  • \mu_r é a permeabilidade relativa do núcleo (adimensional). Como o núcleo é isolante e não magnético, usamos \mu_r\approx1.
  • N é o número de voltas (o que queremos descobrir).
  • A é a área da secção transversal do cilindro (em \mathrm{m^2}).
  • l é o comprimento do enrolamento (em \mathrm{m}).
Vou usar essa fórmula e reordená-la para achar N.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal do núcleo (círculo de raio r):
A=\pi r^2
Substituindo r=0,02\\ \mathrm{m}:
A=\pi(0,02)^2=\pi\cdot 4\times10^{-4}=4\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Isolar N na fórmula da indutância:
L=\mu_0\mu_r\frac{N^2 A}{l}\quad\Longrightarrow\quad N^2=\frac{L\,l}{\mu_0\mu_r A}
e portanto
N=\sqrt{\frac{L\,l}{\mu_0\mu_r A}}.

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos. Primeiro calculamos o produto \mu_0 A (com \mu_r=1):
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \qquad A=4\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
\mu_0 A=(4\pi\times10^{-7})\cdot(4\pi\times10^{-4})=16\pi^2\times10^{-11}.
Aproximando numericamente \pi^2\approx9,8696:
\mu_0 A \approx 16\cdot9,8696\times10^{-11}\approx 157,9136\times10^{-11}=1,579136\times10^{-9}.

Passo 6

Calcular N^2 usando L=2\\ \mathrm{H} e l=0,30\\ \mathrm{m}:
L\,l=2\cdot0,30=0,60\\ \mathrm{H\cdot m}.
N^2=\frac{0,60}{1,579136\times10^{-9}}\approx 3,799544\times10^{8}.

Passo 7

Tirar a raiz quadrada para obter N:
N=\sqrt{3,799544\times10^{8}}\approx 1,9495\times10^{4}.
Arredondando com sensatez, isso dá aproximadamente 1,95\times10^{4} voltas, ou seja cerca de 19\,500 voltas.

Passo 8

Comentário prático e incentivo (rápido): deu bastante voltas — isso é normal: para indutâncias grandes com núcleo não magnético é preciso muito enrolamento. Se seu amigo precisar de menos voltas, seria necessário usar um núcleo magnético com \mu_r\gg1. Força aí, você já entendeu como calcular e pode ajustar se o núcleo for diferente!

Resposta

\displaystyle N\approx 1,95\times10^{4} voltas

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