Problema 8.1 Um fio de comprimento de 1,00 \mathrm{~m} é moldado em um retângulo, e outro fio de comprimento de 1,00 \mathrm{~m} idêntico é moldado em um círculo. Ambos os fios então se movem na mesma velocidade para dentro e para fora de uma região de campo magnético uniforme. A corrente induzida no retângulo é maior, menor ou igual à corrente induzida no círculo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma comparação simples entre correntes induzidas:
  • Dois fios idênticos, cada um de comprimento \,1{,}00\\ \mathrm{m}\,, são moldados em duas formas diferentes: um em um retângulo e outro em um círculo.
  • Ambos os laços são movidos com a mesma velocidade para dentro (e para fora) de uma região de campo magnético uniforme.
  • Pergunta: a corrente induzida no retângulo é maior, menor ou igual à corrente induzida no círculo?
Informações relevantes listadas:
  • Comprimento do fio (perímetro do laço): \,P=1{,}00\\ \mathrm{m}\,.
  • Os fios são idênticos (mesmo material e mesmo comprimento), portanto a resistividade e a área da secção transversal são as mesmas — a resistência total de cada laço depende apenas do comprimento do fio e da sua secção, logo as resistências dos dois laços são iguais.
  • O campo magnético é uniforme e a velocidade de entrada/saída é a mesma para os dois laços.

Passo 2

Conceito-chave: Lei de Faraday da indução. Vou explicar passo a passo.
  • A força eletromotriz (f.e.m.) induzida em um laço é dada por
\varepsilon = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right|,
onde \Phi é o fluxo magnético através do laço.
  • O fluxo magnético é \Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}. Para um campo uniforme perpendicular ao plano do laço, isso reduz-se a
\Phi = B\,A_{\text{entrante}},
onde A_{\text{entrante}} é a área do laço que está dentro da região do campo.
  • Quando o laço se desloca com velocidade constante v perpendicular à fronteira da região do campo, o fluxo muda porque a área dentro do campo muda. A f.e.m. em módulo pode ser escrito como
\varepsilon(t) = B\,\frac{dA_{\text{entrante}}}{dt}.
Vou transformar essa ideia em algo prático.

Passo 3

Fórmula prática útil (intuir e justificar):
  • Pense na fronteira entre região sem campo e região com campo como uma linha reta. Ao deslocar o laço perpendicular a essa linha, a área que entra por unidade de tempo é igual à velocidade v vezes o comprimento do “corte” do laço pela linha (o comprimento do segmento do laço que está sendo “varrido” pela fronteira naquele instante). Denotando por L(t) esse comprimento de interseção, temos
\frac{dA_{\text{entrante}}}{dt}=v\,L(t).
  • Portanto, a f.e.m. instantânea vale
\varepsilon(t)=B\,v\,L(t).
Explicação didática do que é L(t): se a fronteira corta o laço, o trecho de laço que está exatamente atravessando a fronteira tem comprimento L(t) — por exemplo, para um retângulo com lados perpendiculares ao movimento esse comprimento é simplesmente a largura do retângulo (constante durante a entrada), enquanto para um círculo é o comprimento da corda do círculo que está dentro da fronteira naquele deslocamento (varia com a posição).

Passo 4

Resistência e corrente induzida:
  • A corrente induzida em módulo é dada por a lei de Ohm aplicada à f.e.m. induzida:
I(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R}.
  • Como os fios são idênticos (mesmo material, mesma seção transversal e mesmo comprimento total \,P=1{,}00\\ \mathrm{m}\,), as resistências dos dois laços são iguais. Vou chamar essa resistência comum de R.
  • Assim comparar as correntes equivale a comparar as fems: se \varepsilon_{\text{ret}}(t)>\varepsilon_{\text{circ}}(t) então I_{\text{ret}}(t)>\;I_{\text{circ}}(t), e vice-versa.

Passo 5

Aplicando a fórmula \varepsilon(t)=B v L(t) ao retângulo (escolha natural: retângulo com simetria máxima — o quadrado):
  • Como o enunciado diz apenas “retângulo” sem especificar proporções, a escolha mais simétrica (e frequentemente assumida em problemas deste tipo) é o quadrado. Para um retângulo generalizado o resultado poderia variar com a razão entre lados; mas o quadrado é uma escolha natural: é o retângulo que maximiza a área para dado perímetro.
  • Para o quadrado, com perímetro P temos lado
s=\frac{P}{4}.
  • Enquanto o quadrado estiver entrando, a linha fronteira corta o quadrado numa corda de comprimento constante igual a s. Portanto
L_{\text{quad}}(t)=s=\frac{P}{4}.
  • Logo a f.e.m. (em módulo) é
\varepsilon_{\text{quad}}=B\,v\,\frac{P}{4}.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao círculo:
  • Para o círculo de perímetro P a circunferência é P=2\pi r, logo o raio é
r=\frac{P}{2\pi}.
  • Ao deslocar o círculo perpendicularmente à fronteira, a linha de corte em posição y (distância do centro ao corte) tem comprimento de corda
L(y)=2\sqrt{r^{2}-y^{2}}.
  • Para achar a f.e.m. média durante a entrada (ou, de forma equivalente, a f.e.m. média ao longo do deslocamento necessário para que o círculo entre completamente), calculamos o valor médio de L(y) quando y varia de -r a r. O comprimento médio da corda é
\overline{L}_{\text{circ}}=\frac{1}{2r}\int_{-r}^{r}2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dy.
  • A integral \int_{-r}^{r}2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dy é a área do semicírculo de raio r, isto é \tfrac{1}{2}\pi r^{2}. Portanto
\overline{L}_{\text{circ}}=\frac{1}{2r}\left(\tfrac{1}{2}\pi r^{2}\right)=\frac{\pi r}{4}.
  • Substituindo r=\dfrac{P}{2\pi} obtemos
\overline{L}_{\text{circ}}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{P}{2\pi}=\frac{P}{4}.
  • Assim a f.e.m. média para o círculo é
\overline{\varepsilon}_{\text{circ}}=B\,v\,\overline{L}_{\text{circ}}=B\,v\,\frac{P}{4}.
Observação didática: calculei a média de L(t) porque a corda varia durante a entrada; o importante é que a f.e.m. média ao mover o círculo totalmente para dentro é a mesma expressão que tivemos para o quadrado.

Passo 7

Concluindo a comparação das f.e.m. e das correntes:
  • Para o quadrado (retângulo simétrico) obtivemos \varepsilon_{\text{quad}}=B v \dfrac{P}{4}.
  • Para o círculo obtivemos a f.e.m. média \overline{\varepsilon}_{\text{circ}}=B v \dfrac{P}{4}.
  • As resistências são iguais ( R comum), então as correntes médias induzidas têm o mesmo valor:
\overline{I}_{\text{quad}}=\frac{\varepsilon_{\text{quad}}}{R}=\frac{B v (P/4)}{R} \quad\text{e}\quad \overline{I}_{\text{circ}}=\frac{\overline{\varepsilon}_{\text{circ}}}{R}=\frac{B v (P/4)}{R}.
  • Portanto, sob a hipótese natural de tomar o “retângulo” como o retângulo de maior simetria (o quadrado), as correntes induzidas são iguais.

Resposta

A corrente induzida no retângulo é igual à corrente induzida no círculo.

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