Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de
e
. A carga sobre a casca esférica interna é de
e sobre a casca esférica externa é de
. Determine o campo elétrico
em
em
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- O problema pede: determinar o campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é
. - Dados fornecidos:
- Observação: não há figura necessária além desses dados (duas cascas concêntricas). Vou usar explicitamente esses números ao longo da resolução.
Passo 2
Converter unidades para o SI (métrico) porque as fórmulas eletrostáticas funcionam em unidades do SI:
- Transformo
para metros:
Passo 3
Entender como as cargas das cascas contribuem para o campo em
:
- Como as cascas são condutoras e concêntricas, por simetria esférica o campo fora das duas cascas depende apenas da carga total líquida contida dentro da superfície esférica de raio
. - Ambas as cascas estão inteiramente contidas dentro de
(pois seus raios são cm e cm). Portanto a carga total encerrada é a soma das cargas dadas:
Passo 4
Escolher uma superfície gaussiana e aplicar a Lei de Gauss (aqui eu ensino a fórmula):
- Escolho uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo centro das cascas, de raio
. Por simetria, é radial e tem mesmo módulo em toda a superfície. - A Lei de Gauss diz:
Aqui: -
é o campo elétrico na superfície gaussiana. -
é o elemento de área vetorial da superfície. -
é a permissividade do vácuo ( ).
-
- Para a esfera, o lado esquerdo vira
, então isolamos :
- Observação: essa fórmula é equivalente a
, onde é a constante eletrostática (Coulomb), .
Passo 5
Substituir os valores conhecidos na expressão e preparar os cálculos (aqui mostro como fazer as contas passo a passo):
- Usando a forma com
: - Valores numéricos que vamos usar (já convertidos):
- Primeiro calcule
: - Escrevo
: - Então:
Passo 6
Fazer a divisão final (contando algarismos e direção do campo):
- Efetuando a divisão:
- Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (três algarismos significativos), fica:
- Direção: como as cargas são positivas, o campo resultante aponta radialmente para fora do centro.