Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de 2,00 \mathrm{~cm} e 3,00 \mathrm{~cm}. A carga sobre a casca esférica interna é de 4,00 \times 10^{-8} \mathrm{C} e sobre a casca esférica externa é de 6,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}. Determine o campo elétrico
em r=5,00 \mathrm{~cm}

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O problema pede: determinar o campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é r=5,00\\ \mathrm{cm}.
  • Dados fornecidos: \text{raio da casca interna} = 2{,}00\\ \mathrm{cm},
\text{raio da casca externa} = 3{,}00\\ \mathrm{cm},
\text{carga na casca interna} = 4{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C},
\text{carga na casca externa} = 6{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C},
\text{queremos } E \text{ em } r=5{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Observação: não há figura necessária além desses dados (duas cascas concêntricas). Vou usar explicitamente esses números ao longo da resolução.

Passo 2

Converter unidades para o SI (métrico) porque as fórmulas eletrostáticas funcionam em unidades do SI:
  • Transformo r para metros: r = 5{,}00\\ \mathrm{cm} = 5{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}0500\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Entender como as cargas das cascas contribuem para o campo em r=5{,}00\\ \mathrm{cm}:
  • Como as cascas são condutoras e concêntricas, por simetria esférica o campo fora das duas cascas depende apenas da carga total líquida contida dentro da superfície esférica de raio r.
  • Ambas as cascas estão inteiramente contidas dentro de r=5{,}00\\ \mathrm{cm} (pois seus raios são 2{,}00 cm e 3{,}00 cm). Portanto a carga total encerrada é a soma das cargas dadas: Q_{\mathrm{enc}} = 4{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} + 6{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} = 1{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Escolher uma superfície gaussiana e aplicar a Lei de Gauss (aqui eu ensino a fórmula):
  • Escolho uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo centro das cascas, de raio r=5{,}00\\ \mathrm{cm}. Por simetria, \mathbf{E} é radial e tem mesmo módulo em toda a superfície.
  • A Lei de Gauss diz: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}.Aqui:
    • \mathbf{E} é o campo elétrico na superfície gaussiana.
    • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície.
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • Para a esfera, o lado esquerdo vira E \cdot 4\pi r^2, então isolamos E: E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}
\Rightarrow E = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Observação: essa fórmula é equivalente a E = \dfrac{k\,Q_{\mathrm{enc}}}{r^2}, onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (Coulomb), k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos na expressão e preparar os cálculos (aqui mostro como fazer as contas passo a passo):
  • Usando a forma com k: E = \frac{k\,Q_{\mathrm{enc}}}{r^2}.
  • Valores numéricos que vamos usar (já convertidos): k = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, \quad Q_{\mathrm{enc}} = 1{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}, \quad r = 5{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule k\,Q_{\mathrm{enc}}: k\,Q_{\mathrm{enc}} = (8{,}99\times10^{9})\cdot(1{,}00\times10^{-7}) = 8{,}99\times10^{2}.
  • Escrevo r^2: r^2 = (5{,}00\times10^{-2})^2 = 25{,}00\times10^{-4} = 2{,}500\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Então: E = \frac{8{,}99\times10^{2}}{2{,}500\times10^{-3}}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Fazer a divisão final (contando algarismos e direção do campo):
  • Efetuando a divisão: E = \frac{8{,}99\times10^{2}}{2{,}500\times10^{-3}} = 3{,}596\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (três algarismos significativos), fica: E \approx 3{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: como as cargas são positivas, o campo resultante aponta radialmente para fora do centro.

Resposta

E = 3{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora)

Exercícios relacionados