A atividade A(t) de uma amostra radioativa é dada por A(t)=A_{0} e^{-\lambda t}, onde A_{0} é a atividade inicial e \lambda é a constante de decaimento. Uma amostra tem atividade inicial de A_{0}=1000 \mathrm{~Bq} e uma meia-vida de 5 horas.
(a) Calcule a constante de decaimento \lambda em termos da meia-vida.
(b) Determine a atividade da amostra após 15 horas.
(c) Após quanto tempo a atividade da amostra será reduzida a 1 \% de seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo, cujo modelo é
A(t)=A_{0}e^{-\lambda t},
onde \,A_{0}=1000\mathrm{\,Bq} e a meia-vida T_{1/2}=5\mathrm{\,h}.
Pede-se:
(a) expressar \lambda em função de T_{1/2},
(b) calcular A(15\,\mathrm{h}),
(c) determinar t tal que A(t)=0{,}01\,A_{0}.

Passo 2

A meia-vida T_{1/2} satisfaz
A(T_{1/2})=\frac{A_{0}}{2} \quad\Longrightarrow\quad A_{0}e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{A_{0}}{2}.
Cancelando A_{0} e aplicando logaritmo natural:
e^{-\lambda T_{1/2}}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda T_{1/2}=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}.
Substituindo T_{1/2}=5\mathrm{\,h} obtém-se
\lambda=\frac{\ln2}{5\mathrm{\,h}}\approx0{,}1386\mathrm{\,h}^{-1}.

Passo 3

Para t=15\mathrm{\,h},
A(15)=1000\,e^{-\lambda\cdot15} =1000\,e^{-\frac{\ln2}{5}\,15} =1000\,e^{-3\ln2} =1000\cdot2^{-3} =125\mathrm{\,Bq}.

Passo 4

Queremos A(t)=0{,}01\,A_{0}, ou seja
1000\,e^{-\lambda t}=0{,}01\cdot1000 \quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda t}=0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda t=\ln(0{,}01)=-\ln100
\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln100}{\lambda} =\frac{\ln100}{\ln2} \;T_{1/2} =5\,\frac{\ln100}{\ln2} \approx33{,}2\mathrm{\,h}.

Resposta

(a) \displaystyle \lambda=\frac{\ln2}{5\mathrm{\,h}}\approx0{,}1386\mathrm{\,h}^{-1}.
(b) A(15)=125\mathrm{\,Bq}.
(c) t\approx33{,}2\mathrm{\,h}.

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