O método de datação por Carbono-14 ( { }^{14} \mathrm{C} ) é amplamente utilizado para determinar a idade de materiais orgânicos. O tempo de meia-vida do { }^{14} \mathrm{C} é de aproximadamente 5730 anos. Suponha que um pedaço de madeira fóssil tenha uma quantidade de { }^{14} \mathrm{C} que corresponde a 25 \% da quantidade presente em uma amostra de madeira viva.
(a) Usando a fórmula da lei de decaimento radioativo N(t)=N_{0} e^{-\lambda t}, determine a constante de decaimento \lambda para o Carbono-14.
(b) Calcule a idade aproximada da amostra fóssil.
(c) Se a amostra de madeira fóssil tivesse apenas 12.5 \% da quantidade inicial de { }^{14} \mathrm{C}, qual seria a nova idade estimada?

Passo 1

O enunciado trata da datação por Carbono-14, que segue a lei de decaimento radioativo
N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}
com meia-vida 5730 anos. Vamos usar a relação entre meia-vida e constante de decaimento
\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}
e depois inverter a fórmula para obter t a partir da razão N(t)/N_{0}.

Passo 2

Para encontrar \lambda usamos o fato de que em t=t_{1/2}=5730 anos resta metade do carbono:
\frac{N(t_{1/2})}{N_{0}}=e^{-\lambda\,t_{1/2}}=\tfrac12
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\lambda=-\frac{1}{t_{1/2}}\ln\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{\ln 2}{5730} \approx1,21\times10^{-4}\,\mathrm{ano}^{-1}.

Passo 3

Para N(t)/N_{0}=25\%=\tfrac14 resolvemos
e^{-\lambda t}=\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda t=\ln\bigl(\tfrac14\bigr)= -\ln4
t=\frac{\ln4}{\lambda} =\frac{2\ln2}{\ln2/5730} =2\cdot5730 =11460\\ \text{anos}.

Passo 4

Para N(t)/N_{0}=12{,}5\%=\tfrac18 fazemos similarmente
e^{-\lambda t}=\tfrac18 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln8}{\lambda} =\frac{3\ln2}{\ln2/5730} =3\cdot5730 =17190\\ \text{anos}.

Resposta

(a) \displaystyle \lambda=\frac{\ln2}{5730}\approx1,21\times10^{-4}\,\mathrm{ano}^{-1}.
(b) Idade \approx11460 anos.
(c) Idade \approx17190 anos.

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