Considere o caso de uma cadeia radioativa onde um isótopo pai
decai em um isótopo filho
com uma constante de decaimento
. O isótopo filho também é radioativo, com uma constante de decaimento
. Suponha que o tempo de meia-vida do isótopo pai seja muito maior do que o do isótopo filho (
), estabelecendo o chamado equilíbrio secular.
(a) Escreva as equações diferenciais que descrevem o número de núcleos pai
e filho
em função do tempo.
(a) Escreva as equações diferenciais que descrevem o número de núcleos pai
Passo 1
Temos uma cadeia de decaimento radioativo em que o isótopo pai
decai no isótopo filho
, e este por sua vez também é radioativo. As constantes de decaimento são
para o pai e
para o filho. Pelo enunciado,
, o que caracteriza o equilíbrio secular, mas antes de chegar a isso precisamos formular as equações diferenciais que regem o comportamento de
e
. Usaremos a lei do decaimento exponencial, segundo a qual a taxa de variação de cada população é proporcional ao número de núcleos e à sua constante de decaimento.
Passo 2
Para o isótopo pai
, só há perda por decaimento, logo
Para o isótopo filho
, há ganho de núcleos produzidos pelo decaimento de
e perda por seu próprio decaimento, resultando em