Considere o caso de uma cadeia radioativa onde um isótopo pai P decai em um isótopo filho F com uma constante de decaimento \lambda_{P}. O isótopo filho também é radioativo, com uma constante de decaimento \lambda_{F}. Suponha que o tempo de meia-vida do isótopo pai seja muito maior do que o do isótopo filho ( \lambda_{P} \ll \lambda_{F} ), estabelecendo o chamado equilíbrio secular.
(a) Escreva as equações diferenciais que descrevem o número de núcleos pai N_{P}(t) e filho N_{F}(t) em função do tempo.

Passo 1

Temos uma cadeia de decaimento radioativo em que o isótopo pai P decai no isótopo filho F, e este por sua vez também é radioativo. As constantes de decaimento são \lambda_{P} para o pai e \lambda_{F} para o filho. Pelo enunciado, \lambda_{P}\ll\lambda_{F}, o que caracteriza o equilíbrio secular, mas antes de chegar a isso precisamos formular as equações diferenciais que regem o comportamento de N_{P}(t) e N_{F}(t). Usaremos a lei do decaimento exponencial, segundo a qual a taxa de variação de cada população é proporcional ao número de núcleos e à sua constante de decaimento.

Passo 2

Para o isótopo pai P, só há perda por decaimento, logo
\frac{dN_{P}}{dt} = -\lambda_{P}\,N_{P}(t).
Para o isótopo filho F, há ganho de núcleos produzidos pelo decaimento de P e perda por seu próprio decaimento, resultando em
\frac{dN_{F}}{dt} = \lambda_{P}\,N_{P}(t)\;-\;\lambda_{F}\,N_{F}(t).

Resposta

\boxed{ \begin{cases} \displaystyle \frac{dN_{P}}{dt} = -\lambda_{P}\,N_{P}(t), \\[6pt] \displaystyle \frac{dN_{F}}{dt} = \lambda_{P}\,N_{P}(t) - \lambda_{F}\,N_{F}(t). \end{cases} }]

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