Atividade Bônus
Mostre que, para pequenos valores de resistência do ar ( k lll 1 ), as equações de movimento:
v(t)=(g+k v0k) e^-k t-gk e y(t)=y0+(g+k v0k^2)(1-e^-k t)-gk t
se reduzem às equações do movimento de queda livre:
v(t)=v0-g t e y(t)=y0+v0 t-g2 t^2
através da expansão em série de potências para o termo exponencial:
e^x approx 1+x+x^22+ldots, para x lll 1
  • Dica: Observe que v(t) em (2a) depende linearmente do tempo. Assim, considere a expansão até a primeira ordem (1+x+ldots) em (1a).
  • Dica: Observe que y(t) em (2b) depende quadraticamente do tempo. Assim, considere a expansão até a segunda ordem (1+x+x^2+ldots) em (1b).

Passo 1

O enunciado dá as equações de movimento com arrasto linear
v(t)=gl(g + k,v0kgr)e^-k t-gk
e
y(t)=y0+gl(g + k,v0k^2gr)l(1-e^-k tr)-gk,t
e pede que, no limite kll1, elas se reduzam às equações de queda livre
v(t)=v0-g,t e y(t)=y0+v0,t-tfracg2t^2
Usaremos a expansão de Taylor
e^xapprox1+x+tfracx^22+cdots
para x=-k,t, retendo até ordem k em v(t) e até ordem k^2 em y(t).

Passo 2

Expandimos
e^-k tapprox1 - k,t
e substituímos em v(t):
v(t)approxgl(g + k,v0kgr)l(1 - k,tr)-gk =g + k,v0k-l(g + k,v0r)t-gk
Como tfracg+k,v0k=v0+tfracgk, obtemos
v(t)approx v0-g,t - k,v0,t

Passo 3

No regime kll1 o termo -k,v0,t é de ordem superior e pode ser desprezado, ficando
v(t)approx v0-g,t

Passo 4

Para y(t) usamos
e^-k tapprox1 - k,t + tfrac(k,t)^22
e calculamos
1-e^-k tapprox k,t - tfrack^2t^22
Substituindo em y(t):
y(t)approx y0+g + k,v0k^2l(k,t-tfrack^2t^22r)-gkt =y0+g + k,v0k,t-g + k,v02,t^2-gkt
Como tfracg+k,v0k=v0+tfracgk, cancelam os termos pmgkt e sobra
y(t)approx y0+v0,t-g + k,v02,t^2 approx y0+v0,t-g2t^2,
desprezando a parte tfrack,v02t^2 de ordem k.

Resposta

As equações reduzem-se a
v(t)=v0-g,t, y(t)=y0+v0,t-tfracg2t^2

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