Atividade Bônus
Mostre que, para pequenos valores de resistência do ar (
), as equações de movimento:
se reduzem às equações do movimento de queda livre:
através da expansão em série de potências para o termo exponencial:
- Dica: Observe que
em (2a) depende linearmente do tempo. Assim, considere a expansão até a primeira ordem
em (1a).
- Dica: Observe que
em (2b) depende quadraticamente do tempo. Assim, considere a expansão até a segunda ordem
em (1b).
Mostre que, para pequenos valores de resistência do ar (
Passo 1
O enunciado dá as equações de movimento com arrasto linear
e
e pede que, no limite
, elas se reduzam às equações de queda livre
Usaremos a expansão de Taylor
para
, retendo até ordem
em
e até ordem
em
.
Passo 2
Expandimos
e substituímos em
:
Como
, obtemos
Passo 3
No regime
o termo
é de ordem superior e pode ser desprezado, ficando
Passo 4
Para
usamos
e calculamos
Substituindo em
:
Como
, cancelam os termos
e sobra
desprezando a parte
de ordem
.
Resposta
As equações reduzem-se a