Atividade 5.2 Um capacitor consistindo de duas esferas concêntricas e um consistindo de dois cilindros coaxiais, ambos têm um raio interno de 10 cm e um raio externo de 12 cm . Se os dois capacitores têm a mesma capacitância, qual é o comprimento dos cilindros?

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores com raios interno a=10\text{ cm} e externo b=12\text{ cm}: um esférico e outro cilíndrico de comprimento L. Eles têm a mesma capacitância C. Vamos usar as fórmulas de capacitância de capacitor esférico e cilíndrico para encontrar L.

Passo 2

Para o capacitor esférico, a capacitância é
C_s = 4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{a\,b}{\,b - a\,}.
Aqui convertemos a=10\text{ cm}=0,10\text{ m} e b=12\text{ cm}=0,12\text{ m}.

Passo 3

Para o capacitor cilíndrico coaxial, a capacitância é
C_c = \frac{2\pi\varepsilon_{0}\,L}{\ln\!\bigl(b/a\bigr)}.

Passo 4

Como C_s = C_c, temos
4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{a\,b}{\,b - a\,} = \frac{2\pi\varepsilon_{0}\,L}{\ln(b/a)}.
Cancelando 2\pi\varepsilon_{0} dos dois lados e isolando L, obtemos
2\,\frac{a\,b}{\,b - a\,} = \frac{L}{\ln(b/a)} \quad\Longrightarrow\quad L = 2\,\frac{a\,b}{\,b - a\,}\,\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).

Passo 5

Substituindo a=0,10\text{ m} e b=0,12\text{ m}:
\frac{a\,b}{\,b - a\,} = \frac{0,10\cdot0,12}{0,12 - 0,10} = \frac{0,012}{0,02} = 0,6,
\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr) = \ln(1{,}2)\approx0,1823,
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L = 2\cdot0,6\cdot0,1823 \approx0,2188\text{ m}\approx0,22\text{ m}.

Resposta

O comprimento dos cilindros deve ser aproximadamente 0,22\text{ m} (ou 22\text{ cm}).

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