Esta atividade envolve repensar a aula sobre sistemas de partículas, as leis e as definições utilizadas. Deve ser discutido em grupo, com apoio dos monitores.
Observe a equação a seguir, utilizada para descrever as leis físicas aplicáveis a um sistema de partículas.
\frac{d \vec{P}}{d t}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}=M \vec{A}
(a) Nesta equação, o que representa o símbolo \vec{P} ? Escreva o seu nome e a sua definição em termos das grandezas que descrevem as partículas que fazem parte do sistema.
(b) E o que representa \vec{F}_{E X T}^{R E S} ? Escreva o nome desta grandeza, e o que ela representa.
(c) O que representa o símbolo M ? E o símbolo \vec{A} ?
(d) Agora, escreva uma frase que represente o que você entendeu a respeito da equação acima.
(e) Aplique esta equação ao movimento de uma caneta que você lança no ar. Desenhe a trajetória da caneta, especificando detalhadamente os tipos de movimento ela descreve.
(f) Porque as forças que fazem com que as partes que compõem a caneta mantenham-se unidas (formando a caneta) não aparecem nesta equação?
(g) E, finalmente, demonstre a equação acima, supondo que você tem um sistema simples, com apenas duas partículas. Faça isso completando os passos abaixo nos locais onde estão colocadas reticências,
hipótese: as leis de Newton são válidas
Posso escrever para cada uma das particulas \vec{F}_{1}^{R E S}=\frac{d \vec{p}_{1}}{d t}=m_{1} \vec{a}_{1}, \vec{F}_{2}^{R E S}=\_\_\_\_
A partícula 1 interage com a partícula 2 - e representa-se a interação sobre a partícula 1 por \vec{F}_{1(2)} e sobre a partícula 2 como \vec{F}_{2(1)}. A terceira lei de Newton é escrita como \_\_\_\_
A força resultante sobre cada uma das partículas vale \_\_\_\_
Então, concluo que
Defino um ponto associado ao sistema como sendo o ponto cuja posição é dada
por \vec{R}=\frac{m_{1} \vec{r}_{1}+m_{2} \vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}; esse ponto recebe o nome de “centro de massa do sistema”, e tem velocidade dada por \vec{V}=\frac{m_{1} \vec{v}_{1}+m_{2} \vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\_\_\_\_ e aceleração \vec{A}=\frac{m_{1} \vec{a}_{1}+m_{2} \vec{a}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\_\_\_\_
Concluo que a equação de movimento deste ponto especial, o centro de massa, é \_\_\_\_
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
\frac{d \vec{P}}{d t}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}=M \vec{A}
e pede que respondamos os itens (a) até (g). Vou listar claramente o que cada item solicita:
(a) Identificar o que é \vec{P} e defini-lo em termos das grandezas das partículas do sistema.
(b) Identificar o que é \vec{F}_{E X T}^{R E S} — nome e significado.
(c) Identificar o que é M e o que é \vec{A}.
(d) Escrever uma frase que resuma o que a equação significa.
(e) Aplicar a equação ao lançamento de uma caneta no ar: desenhar/descrever a trajetória e especificar os tipos de movimento que a caneta descreve.
(f) Explicar por que as forças internas que mantêm a caneta unida não aparecem na equação.
(g) Demonstrar a equação para um sistema com duas partículas, completando as lacunas dadas e chegar à forma final.
As informações relevantes fornecidas são: a equação diferencial que relaciona derivada temporal do vetor \vec{P}, uma força resultante externa, a massa total M e uma aceleração \vec{A}; e a definição do centro de massa
A resolução e provas devem usar as leis de Newton (hipótese do enunciado).
Passo 2
(a) O que é \vec{P}. Explicação didática e definição.
Intuição: pense em algo que mede “quanto de movimento” o sistema tem e que combina massa e velocidade de cada parte. É um vetor (tem direção e sentido).
Definição matemática: para um sistema de partículas, a quantidade chamada momento linear total (ou impulso linear total) é a soma dos momentos lineares individuais. Para partículas com momentos \vec{p}_i = m_i \vec{v}_i, definimos
Explicação das variáveis: \vec{p}_i é o momento linear da partícula i; m_i é sua massa (escalar); \vec{v}_i é sua velocidade (vetor). Unidade no SI: \mathrm{kg\cdot m/s}.
Exemplo simples: duas partículas em linha: se m_1=2\,\mathrm{kg} com \vec{v}_1=(1,0,0)\,\mathrm{m/s} e m_2=1\,\mathrm{kg} com \vec{v}_2=(2,0,0)\,\mathrm{m/s}, então \vec{P}=2\cdot(1,0,0)+1\cdot(2,0,0)=(4,0,0)\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Passo 3
(b) O que é \vec{F}_{E X T}^{R E S}. Explicação didática.
Nome: força resultante externa sobre o sistema (resultante das forças externas).
O que ela representa: é a soma vetorial de todas as forças que vêm de fora do sistema (por exemplo, gravidade, forças de contato externas, resistência do ar) e atuam sobre as partículas do sistema. Escrevendo:
\vec{F}_{E X T}^{R E S}=\sum_{i}\vec{F}_{i}^{EXT},
onde \vec{F}_{i}^{EXT} é a soma das forças externas que atuam na partícula i.
Importante: forças internas (entre partículas do próprio sistema) não aparecem nessa soma porque são internas — eu explico por que no Passo 6.
Unidade: \mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}.
Passo 4
(c) O que é M e o que é \vec{A}. Explicação didática.
M: massa total do sistema, definida como a soma das massas das partículas:
M=\sum_{i} m_i.
É um escalar.
\vec{A}: a aceleração do ponto especial associado ao sistema — o centro de massa. Se \vec{R} é a posição do centro de massa, então \vec{A}=\dfrac{d^2\vec{R}}{dt^2}=\dfrac{d\vec{V}}{dt}, onde \vec{V} é a velocidade do centro de massa. Em termos das acelerações individuais:
\vec{A}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i \vec{a}_i.
Interpretação: M\vec{A} é a massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa; a equação então relaciona a mudança total do momento com as forças externas agindo sobre o sistema.
Passo 5
(d) Frase-resumo (do jeito que você explicaria na prova).
Frase: “A taxa de variação do momento linear total do sistema é igual à força resultante externa que age sobre ele; equivalente a dizer que o centro de massa do sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada nele e sujeita apenas à força externa resultante.”
Passo 6
(e) Aplicação ao lançamento de uma caneta no ar — descrição da trajetória e tipos de movimento. Vou explicar passo a passo, imaginando que você joga a caneta com uma mão e a caneta gira enquanto vai e volta.
Forças externas relevantes (geralmente): a gravidade (força peso) \vec{P}=m\vec{g} atuando para baixo em todas as partes; resistência do ar \vec{F}_{drag} que depende da velocidade e da forma (pode ser pequena ou significativa). Essas são forças externas porque vêm do meio (Terra e ar).
Movimento do centro de massa: se desprezarmos o arrasto do ar (ou o considerarmos pequeno), o centro de massa da caneta descreve um movimento de projétil — uma parábola no plano vertical do lançamento. Matematicamente, para o centro de massa:
\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}\approx m\vec{g}\quad\Rightarrow\quad \vec{A}=\vec{g}.
Isto dá uma aceleração uniforme vertical \vec{g}, e as componentes horizontais da velocidade do CM permanecem constantes (se não há arrasto). Portanto o CM tem movimento retilíneo uniforme na horizontal e movimento uniformemente acelerado na vertical — combinados, formam uma parábola.
3) Rotação: além da translação do centro de massa, a caneta pode ter rotação em torno do centro de massa (ela pode girar em torno de seu eixo ou rodar no espaço). Essa rotação é causada por torques externos (se houver) ou por condições iniciais (você lança dando um giro). O movimento de rotação é descrito por leis de momento angular e torque, não diretamente por \frac{d\vec{P}}{dt}=M\vec{A}.
4) Movimentos internos: se a caneta for elástica ou flexível, pequenas vibrações ou deformações internas podem ocorrer — modos internos que não alteram a equação do centro de massa, mas alteram a distribuição de energia interna.
5) Desenho/representação (descritiva): imagine o eixo horizontal x e vertical y. Começando na mão em (0,0) com velocidade inicial (v_{0x},v_{0y}), o centro de massa descreve uma curva y(x) parabólica. A caneta pode girar enquanto o ponto central segue essa parábola.
6) Resumo dos tipos de movimento que a caneta descreve: (i) translação do centro de massa — trajeto de projétil (parábola), (ii) rotação em torno do centro de massa — rotação/giros livres, (iii) possíveis vibrações internas se for flexível.
Passo 7
(f) Por que as forças internas não aparecem na equação? Explicação passo a passo, linkando com a terceira lei de Newton.
Forças internas são as que as partes do sistema exercem umas sobre as outras. Para cada par de partículas i e j, a força que i exerce em j é \vec{F}_{j(i)} e a força que j exerce em i é \vec{F}_{i(j)}.
Pela terceira lei de Newton (ação e reação), essas forças são iguais em módulo e opostas em direção:
\vec{F}_{i(j)}=-\vec{F}_{j(i)}.
Ao somar todas as forças que atuam nas partículas do sistema, as contribuições internas aparecem em pares opostos e se cancelam. Logo, a soma total das forças sobre o sistema é apenas a soma das forças externas:
Consequência: as forças internas não produzem variação líquida do momento total do sistema; por isso não aparecem na equação \dfrac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}.
Passo 8
(g) Demonstração para duas partículas — completando lacunas e explicando cada passo.
Interações internas: a partícula 1 interage com a partícula 2. A força sobre 1 devido a 2 é \vec{F}_{1(2)}. A força sobre 2 devido a 1 é \vec{F}_{2(1)}. A terceira lei de Newton nos dá:
\vec{F}_{1(2)}=-\vec{F}_{2(1)}.
(Essa preenche a lacuna da terceira lei.)
Força resultante sobre cada partícula: a força resultante sobre cada partícula é a soma da força externa sobre ela mais a força interna devido à outra partícula. Assim:
\frac{d\vec{P}}{dt}=\underbrace{(\vec{F}_{1}^{EXT}+\vec{F}_{2}^{EXT})}_{\vec{F}_{E X T}^{R E S}}+\underbrace{(\vec{F}_{1(2)}+\vec{F}_{2(1)})}_{=\,\vec{0}\\ \text{(pela 3ª lei)}}.
Pela terceira lei, \vec{F}_{1(2)}+\vec{F}_{2(1)}=\vec{0}. Portanto:
\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{1}^{EXT}+\vec{F}_{2}^{EXT}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}.
Isso completa a demonstração de que a taxa de variação do momento total é igual à força resultante externa.
Passo 9
(continuação do item g) Relacionando com o centro de massa e chegando à forma final M\vec{A}.
(preenchi a lacuna com \dfrac{1}{M}\dfrac{d\vec{P}}{dt} ou equivalentemente \dfrac{\dot{\vec{P}}}{M}.)
Multiplicando ambos os lados por M obtemos a forma desejada:
\frac{d\vec{P}}{dt}=M\vec{A}.
Como já mostramos \dfrac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}, concluímos
\boxed{\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{E X T}^{R E S}=M\vec{A}},
com todas as lacunas preenchidas e a prova completa para o sistema de duas partículas.
Resposta
(a) \vec{P}=\sum_{i} \vec{p}_{i}=\sum_{i} m_{i}\vec{v}_{i} (momento linear total do sistema).
(b) \vec{F}_{E X T}^{R E S}=\sum_{i}\vec{F}_{i}^{EXT} (força resultante externa: soma das forças externas atuando nas partículas).
(c) M=\sum_{i} m_{i} (massa total do sistema) e \vec{A}=\dfrac{d^{2}\vec{R}}{dt^{2}}=\dfrac{1}{M}\sum_{i} m_{i}\vec{a}_{i} (aceleração do centro de massa).
(d) Frase: “A taxa de variação do momento linear total é igual à força resultante externa; o centro de massa se move como se toda a massa estivesse concentrada nele sob a ação da força externa resultante.”
(e) Centro de massa da caneta descreve movimento de projétil (parábola, se desprezarmos arrasto), enquanto a caneta pode também girar em torno do centro de massa e ter vibrações internas; forças externas relevantes: peso \vec{P}=m\vec{g} e possível arrasto do ar.
(f) Porque forças internas entre partes aparecem em pares ação-reação que se cancelam na soma total; portanto não contribuem para a variação do momento total do sistema.
(g) Completando e demonstrando para duas partículas: