Você lança no ar a caneta que está em suas mãos.
Represente, num instante qualquer em que a caneta está no ar, as forças que atuam sobre ela. Indique em que ponto essas forças atuam e justifique.
Descreva o movimento da caneta no ar.
Trace a trajetória descrita pelo centro de massa da caneta.
Represente, num instante qualquer em que a caneta está no ar, as forças que atuam sobre ela. Indique em que ponto essas forças atuam e justifique.
Trace a trajetória descrita pelo centro de massa da caneta.
Passo 1
O enunciado: você lança no ar a caneta que está em suas mãos e, em um instante qualquer em que a caneta está no ar, pede-se: (a) representar as forças que atuam sobre ela, indicar em que ponto cada força atua e justificar; (b) descrever o movimento da caneta no ar; (c) traçar (descrever) a trajetória do centro de massa da caneta.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a caneta é um corpo rígido lançado no ar; estamos considerando um instante em que ela já não está em contato com a sua mão (ou seja, está livre no ar). Não há figura adicional fornecida. Não podemos assumir se o ar é desprezível ou não; portanto vamos discutir os dois casos mais relevantes (sem resistência do ar e com resistência do ar). A resolução começa a partir daqui.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a caneta é um corpo rígido lançado no ar; estamos considerando um instante em que ela já não está em contato com a sua mão (ou seja, está livre no ar). Não há figura adicional fornecida. Não podemos assumir se o ar é desprezível ou não; portanto vamos discutir os dois casos mais relevantes (sem resistência do ar e com resistência do ar). A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Quais forças podem atuar quando a caneta está livre no ar? Liste simples e justificativa física:
- Força peso. Denotamos por
ou . A força peso existe porque a Terra atrai toda a massa da caneta; ela é dada por
onde
é a massa da caneta e
é a aceleração da gravidade (vetor para baixo, com módulo aproximado
). Justificativa do ponto de aplicação: a gravidade age sobre cada partícula do corpo; o efeito resultante equivalente (resultante das forças de peso distribuídas) pode ser representado por uma única força aplicada no centro de massa. Portanto a força peso pode ser considerada aplicada no centro de massa da caneta, que chamamos de
.
Passo 3
Forças de interação com o ar (quando relevantes). Explique o que são e onde atuam:
- Força de arrasto (drag)
: tende a opor-se à velocidade instantânea da caneta em relação ao ar; aponta aproximadamente na direção oposta à velocidade relativa. É consequência de pressões e atrito viscoso do ar ao redor do corpo. - Força de sustentação/portância
(geralmente pequena para uma caneta, mas pode aparecer se houver fluxo assimétrico): pode ter componente perpendicular à velocidade.
Natureza e ponto de aplicação: essas forças surgem por distribuições de pressão sobre a superfície da caneta; a resultante dessas pressões e tensões é uma força resultante(soma de e ). O ponto de aplicação efetivo da resultante aerodinâmica chama-se centro de pressão (CP). Em geral o CP NÃO coincide com o centro de massa. Se o CP estiver deslocado em relação ao CM, a força aerodinâmica gera um momento (torque) que tende a girar a caneta.
Passo 4
Representação vetorial no instante (descrição do diagrama de corpo livre): descrevo quais vetores desenhar e onde colocá-los.
- Desenhe o corpo (esquematicamente uma haste). Marque o ponto
(centro de massa). No desenhe o vetor apontando para baixo. Explique: este vetor representa a resultante da atração gravitacional e age no CM. - Se a velocidade relativa ao ar for significativa, desenhe também a força aerodinâmica resultante
. Coloque-a aplicada no ponto marcado como CP (centro de pressão); a direção costuma ser quase oposta à velocidade (para o arrasto) e pode ter componente lateral (para portância). - Se a resistência do ar for desprezível, então
e sobra apenas o peso atuando no CM.
Justificativa conceitual curta: as forças externas resultantes determinam a aceleração do centro de massa; forças distribuídas (como pressão do ar) têm uma resultante que pode ser aplicada num ponto (CP) ou representada por uma força no CM junto com um torque se necessário.
Passo 5
Equação do movimento do centro de massa (ás leis usadas e motivo): ensino passo a passo.
- Princípio: para qualquer corpo rígido (ou sistema de partículas) a aceleração do centro de massa é dada pela soma das forças externas dividida pela massa:
Aqui
é a aceleração do centro de massa e
é a soma vetorial de todas as forças externas (peso, forças aerodinâmicas, etc.). Isso vale mesmo que as forças ajam distribuídas: o efeito sobre o movimento de translação do corpo é o mesmo que se uma força resultante aplicada no CM. (Breve justificativa física: cada partícula tem
; somando e dividindo por
obtém-se a equação acima.)
- Caso simples (resistência do ar desprezível):
. Logo
Isto significa que a aceleração do CM é constante e igual a
(para baixo).
Passo 6
Integração para obter posição e trajetória do centro de massa (sem resistência do ar). Ensinar passo a passo como obter a parábola.
- Defina um sistema de coordenadas conveniente: eixo horizontal
(paralelo ao chão) e eixo vertical positivo para cima. Inicialmente o CM tem posição e velocidade inicial . A aceleração é . - Integre aceleração para obter velocidade:
lembrando que
. Em componentes:
Expliquei: a componente horizontal permanece constante (sem forças horizontais), a vertical decresce linearmente por causa de
.
- Integre velocidade para obter posição:
Em componentes:
- Elimine
para achar a equação cartesiana da trajetória (a parábola):
Usando
outra forma útil:
Expliquei cada passo de integração e eliminação de
para que você saiba como chegar na parábola na prova.
Passo 7
Efeito da resistência do ar e do torque sobre rotação — explicação prática e o que muda no movimento:
- Se houver resistência do ar significativa,
. Então
Normalmente
tem componente oposta à velocidade (arrasto), fazendo com que a componente horizontal da velocidade diminua com o tempo e a trajetória deixe de ser uma parábola perfeita — fica “amortecida” e mais curta horizontalmente. A solução analítica exige hipóteses sobre a lei do arrasto (por ex.
ou
) e integrações um pouco mais trabalhosas.
- Torques e rotação: torque externo total
torna variável o momento angular. Se a resultante aerodinâmica não passar pelo CM (CP deslocado), existe torque que muda a rotação da caneta (tumble). Se só existe peso (aplicado no CM) e nenhuma outra força fora do CM, não há torque externo sobre o corpo e o momento angular em torno do CM é conservado (a rotação não muda por causa de torque externo). Em linguagem de prova: a rotação obedece
onde
é momento angular da caneta. Se
, então
constante.
Passo 8
Resumo prático para representar e descrever na prova (passos aplicáveis na hora):
- Desenhe o esquema: marque o CM; aplique
no CM; desenhe no CP (se pedir considerar o ar). Explique que o movimento de translação do corpo é o movimento do CM governado por . - Caso típico de exercício básico: negligencie o ar → a trajetória do CM é uma parábola dada por
. Se o enunciado mencionar resistência do ar, especifique a lei do arrasto antes de resolver numericamente. - Sobre rotação: diga se a caneta gira ou não dependendo da presença de torque externo (resultado da diferença CP–CM). Isso explica por que, na prática, a caneta costuma “girar no ar”: pequenas forças aerodinâmicas fora do CM geram torques.
Resposta
Forças:
aplicada no centro de massa (CM). Se houver interação com o ar, existe também a resultante aerodinâmica
(arrasto/portância) aplicada no centro de pressão (CP), que em geral não coincide com o CM; a diferença de posição CP–CM gera torque.
Movimento da caneta no ar: a translação do corpo é o movimento do centro de massa governado por . Sem resistência do ar a aceleração é
(constante para baixo) e a rotação só muda se existir torque externo (por exemplo devido à
fora do CM). Com ar, o arrasto altera a aceleração e pode provocar torque que modifica a rotação.
Trajetória do centro de massa: sem resistência do ar,
Movimento da caneta no ar: a translação do corpo é o movimento do centro de massa governado por
Trajetória do centro de massa: sem resistência do ar,
e, eliminando
,
ou seja, uma parábola.