Você lança no ar a caneta que está em suas mãos.
Represente, num instante qualquer em que a caneta está no ar, as forças que atuam sobre ela. Indique em que ponto essas forças atuam e justifique.
Descreva o movimento da caneta no ar.
Trace a trajetória descrita pelo centro de massa da caneta.

Passo 1

O enunciado: você lança no ar a caneta que está em suas mãos e, em um instante qualquer em que a caneta está no ar, pede-se: (a) representar as forças que atuam sobre ela, indicar em que ponto cada força atua e justificar; (b) descrever o movimento da caneta no ar; (c) traçar (descrever) a trajetória do centro de massa da caneta.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a caneta é um corpo rígido lançado no ar; estamos considerando um instante em que ela já não está em contato com a sua mão (ou seja, está livre no ar). Não há figura adicional fornecida. Não podemos assumir se o ar é desprezível ou não; portanto vamos discutir os dois casos mais relevantes (sem resistência do ar e com resistência do ar). A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Quais forças podem atuar quando a caneta está livre no ar? Liste simples e justificativa física:
  • Força peso. Denotamos por \vec{W} ou \vec{P}. A força peso existe porque a Terra atrai toda a massa da caneta; ela é dada por
\vec{W}=m\vec{g},
onde \,m é a massa da caneta e \vec{g} é a aceleração da gravidade (vetor para baixo, com módulo aproximado |\vec{g}|\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2). Justificativa do ponto de aplicação: a gravidade age sobre cada partícula do corpo; o efeito resultante equivalente (resultante das forças de peso distribuídas) pode ser representado por uma única força aplicada no centro de massa. Portanto a força peso pode ser considerada aplicada no centro de massa da caneta, que chamamos de \text{CM}.

Passo 3

Forças de interação com o ar (quando relevantes). Explique o que são e onde atuam:
  • Força de arrasto (drag) \vec{D}: tende a opor-se à velocidade instantânea da caneta em relação ao ar; aponta aproximadamente na direção oposta à velocidade relativa. É consequência de pressões e atrito viscoso do ar ao redor do corpo.
  • Força de sustentação/portância \vec{L} (geralmente pequena para uma caneta, mas pode aparecer se houver fluxo assimétrico): pode ter componente perpendicular à velocidade.
    Natureza e ponto de aplicação: essas forças surgem por distribuições de pressão sobre a superfície da caneta; a resultante dessas pressões e tensões é uma força resultante \vec{F}_{\text{ar}} (soma de \vec{D} e \vec{L}). O ponto de aplicação efetivo da resultante aerodinâmica chama-se centro de pressão (CP). Em geral o CP NÃO coincide com o centro de massa. Se o CP estiver deslocado em relação ao CM, a força aerodinâmica gera um momento (torque) que tende a girar a caneta.

Passo 4

Representação vetorial no instante (descrição do diagrama de corpo livre): descrevo quais vetores desenhar e onde colocá-los.
  • Desenhe o corpo (esquematicamente uma haste). Marque o ponto \text{CM} (centro de massa). No \text{CM} desenhe o vetor \vec{W}=m\vec{g} apontando para baixo. Explique: este vetor representa a resultante da atração gravitacional e age no CM.
  • Se a velocidade relativa ao ar for significativa, desenhe também a força aerodinâmica resultante \vec{F}_{\text{ar}}. Coloque-a aplicada no ponto marcado como CP (centro de pressão); a direção costuma ser quase oposta à velocidade (para o arrasto) e pode ter componente lateral (para portância).
  • Se a resistência do ar for desprezível, então \vec{F}_{\text{ar}}\approx\vec{0} e sobra apenas o peso atuando no CM.
    Justificativa conceitual curta: as forças externas resultantes determinam a aceleração do centro de massa; forças distribuídas (como pressão do ar) têm uma resultante que pode ser aplicada num ponto (CP) ou representada por uma força no CM junto com um torque se necessário.

Passo 5

Equação do movimento do centro de massa (ás leis usadas e motivo): ensino passo a passo.
  • Princípio: para qualquer corpo rígido (ou sistema de partículas) a aceleração do centro de massa é dada pela soma das forças externas dividida pela massa:
m\vec{a}_{\text{CM}}=\sum \vec{F}_{\text{ext}}.
Aqui \vec{a}_{\text{CM}} é a aceleração do centro de massa e \sum \vec{F}_{\text{ext}} é a soma vetorial de todas as forças externas (peso, forças aerodinâmicas, etc.). Isso vale mesmo que as forças ajam distribuídas: o efeito sobre o movimento de translação do corpo é o mesmo que se uma força resultante aplicada no CM. (Breve justificativa física: cada partícula tem m_i \vec{a}_i=\sum \vec{F}_i; somando e dividindo por m obtém-se a equação acima.)
  • Caso simples (resistência do ar desprezível): \sum \vec{F}_{\text{ext}}=\vec{W}=m\vec{g}. Logo
m\vec{a}_{\text{CM}}=m\vec{g}\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_{\text{CM}}=\vec{g}.
Isto significa que a aceleração do CM é constante e igual a \vec{g} (para baixo).

Passo 6

Integração para obter posição e trajetória do centro de massa (sem resistência do ar). Ensinar passo a passo como obter a parábola.
  • Defina um sistema de coordenadas conveniente: eixo horizontal x (paralelo ao chão) e eixo vertical y positivo para cima. Inicialmente o CM tem posição \vec{r}_0=(x_0,y_0) e velocidade inicial \vec{v}_0=(v_{0x},v_{0y}). A aceleração é \vec{a}_{\text{CM}}=(0,-g).
  • Integre aceleração para obter velocidade:
\vec{v}_{\text{CM}}(t)=\vec{v}_0+\vec{g}\,t,
lembrando que \vec{g}=(0,-g). Em componentes:
v_x(t)=v_{0x},\qquad v_y(t)=v_{0y}-gt.
Expliquei: a componente horizontal permanece constante (sem forças horizontais), a vertical decresce linearmente por causa de -g.
  • Integre velocidade para obter posição:
\vec{r}_{\text{CM}}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{g}\,t^2.
Em componentes:
x(t)=x_0+v_{0x}t,
y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
  • Elimine t para achar a equação cartesiana da trajetória (a parábola):
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}\quad\Rightarrow\quad y(x)=y_0+v_{0y}\frac{x-x_0}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2.
Usando \tan\theta=v_{0y}/v_{0x} outra forma útil:
y(x)=y_0+\tan\theta\,(x-x_0)-\frac{g}{2v_{0x}^2}(x-x_0)^2.
Expliquei cada passo de integração e eliminação de t para que você saiba como chegar na parábola na prova.

Passo 7

Efeito da resistência do ar e do torque sobre rotação — explicação prática e o que muda no movimento:
  • Se houver resistência do ar significativa, \vec{F}_{\text{ar}}\neq\vec{0}. Então
m\vec{a}_{\text{CM}}=m\vec{g}+\vec{F}_{\text{ar}}.
Normalmente \vec{F}_{\text{ar}} tem componente oposta à velocidade (arrasto), fazendo com que a componente horizontal da velocidade diminua com o tempo e a trajetória deixe de ser uma parábola perfeita — fica “amortecida” e mais curta horizontalmente. A solução analítica exige hipóteses sobre a lei do arrasto (por ex. \vec{D}\propto v ou \vec{D}\propto v^2) e integrações um pouco mais trabalhosas.
  • Torques e rotação: torque externo total \vec{\tau}_{\text{ext}}=\sum \vec{r}_i\times\vec{F}_i torna variável o momento angular. Se a resultante aerodinâmica não passar pelo CM (CP deslocado), existe torque que muda a rotação da caneta (tumble). Se só existe peso (aplicado no CM) e nenhuma outra força fora do CM, não há torque externo sobre o corpo e o momento angular em torno do CM é conservado (a rotação não muda por causa de torque externo). Em linguagem de prova: a rotação obedece
\vec{\tau}_{\text{ext}}=\frac{d\vec{L}}{dt},
onde \vec{L} é momento angular da caneta. Se \vec{\tau}_{\text{ext}}=\vec{0}, então \vec{L}= constante.

Passo 8

Resumo prático para representar e descrever na prova (passos aplicáveis na hora):
  • Desenhe o esquema: marque o CM; aplique \vec{W}=m\vec{g} no CM; desenhe \vec{F}_{\text{ar}} no CP (se pedir considerar o ar). Explique que o movimento de translação do corpo é o movimento do CM governado por m\vec{a}_{\text{CM}}=\sum\vec{F}_{\text{ext}}.
  • Caso típico de exercício básico: negligencie o ar → a trajetória do CM é uma parábola dada por \;x(t)=x_0+v_{0x}t,\; y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2. Se o enunciado mencionar resistência do ar, especifique a lei do arrasto antes de resolver numericamente.
  • Sobre rotação: diga se a caneta gira ou não dependendo da presença de torque externo (resultado da diferença CP–CM). Isso explica por que, na prática, a caneta costuma “girar no ar”: pequenas forças aerodinâmicas fora do CM geram torques.

Resposta

Forças: \vec{W}=m\vec{g} aplicada no centro de massa (CM). Se houver interação com o ar, existe também a resultante aerodinâmica \vec{F}_{\text{ar}} (arrasto/portância) aplicada no centro de pressão (CP), que em geral não coincide com o CM; a diferença de posição CP–CM gera torque.
Movimento da caneta no ar: a translação do corpo é o movimento do centro de massa governado por m\vec{a}_{\text{CM}}=\sum\vec{F}_{\text{ext}}. Sem resistência do ar a aceleração é \vec{a}_{\text{CM}}=\vec{g} (constante para baixo) e a rotação só muda se existir torque externo (por exemplo devido à \vec{F}_{\text{ar}} fora do CM). Com ar, o arrasto altera a aceleração e pode provocar torque que modifica a rotação.
Trajetória do centro de massa: sem resistência do ar,
x(t)=x_0+v_{0x}t,\qquad y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2,
e, eliminando t,
y(x)=y_0+\tan\theta\,(x-x_0)-\frac{g}{2v_{0x}^2}(x-x_0)^2,
ou seja, uma parábola.

Exercícios relacionados