Atividade 7.3 Uma espira de corrente esta’ no plano xy , com uma corrente circulando no sentido anti-horário quando vista do eixo z positivo. Ha’ algum torque na espira, e se houver, qual a direção, se um campo magnético uniforme for aplicado ao longo do eixo y positivo?

Passo 1

O enunciado diz: uma espira de corrente está no plano xy. A corrente circula no sentido anti-horário quando vista do eixo z positivo. Aplica-se um campo magnético uniforme ao longo do eixo y positivo. As perguntas são: (a) há torque sobre a espira? (b) se houver, qual a direção do torque?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A espira está no plano xy.
  • A corrente I circula no sentido anti-horário vista do lado +z.
  • O campo magnético é uniforme e igual a \vec{B}=B\,\hat{y} (com B>0).
  • Não foi dada a área numérica da espira; denotarei a área por S (magnitude da área da espira).
  • Não foram dados valores numéricos para I,B,S; a resposta será em função dessas quantidades.

Passo 2

Conceito que vamos usar: a espira de corrente comporta-se como um dipolo magnético com momento magnético \vec{\mu}. Definição prática e intuitiva:
\vec{\mu}=I\,\vec{S}
onde I é a corrente e \vec{S} é o vetor área da espira: seu módulo é S (a área da espira) e sua direção é dada pela regra da mão direita associada ao sentido da corrente. Explico a regra da mão direita de forma bem direta: coloque os dedos no sentido da corrente; o polegar estendido indica a direção do vetor normal \vec{S} (e portanto de \vec{\mu}). Aqui cada símbolo significa:
  • I: corrente na espira (em ampères).
  • \vec{S}: vetor área; \lVert\vec{S}\rVert=S é a área; direção dada pela mão direita.
  • \vec{\mu}: momento magnético da espira (vetor).

Passo 3

Aplicando a regra da mão direita ao sentido dado: a corrente é anti-horária quando vista do eixo +z. Ao enrolar os dedos no sentido da corrente, o polegar aponta para +z. Logo
\vec{\mu}=I S\,\hat{z}.
Expliquei: portanto o momento magnético aponta para cima, ao longo de \hat{z}.

Passo 4

Fórmula do torque sobre um dipolo magnético em um campo magnético uniforme:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
Aqui \times é o produto vetorial (cross product). Vou calcular explicitamente usando \vec{\mu}=I S\,\hat{z} e \vec{B}=B\,\hat{y}:
\vec{\tau}=(I S\,\hat{z})\times(B\,\hat{y})=I S B\,(\hat{z}\times\hat{y}).
Para calcular \hat{z}\times\hat{y} uso as relações cíclicas dos vetores unitários: \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}. Assim \hat{z}\times\hat{y}= -(\hat{y}\times\hat{z}) = -\hat{x}. Portanto
\vec{\tau} = -I S B\,\hat{x}.

Passo 5

Interpretação física e sentido da rotação (didática): o resultado \vec{\tau}=-I S B\,\hat{x} mostra que há sim um torque não nulo. Seu eixo é o eixo x e a direção do vetor torque é -\hat{x}. O que isso significa fisicamente?
  • O torque tende a fazer com que o vetor \vec{\mu} (que estava em +\hat{z}) gire em direção a \vec{B} (que está em +\hat{y}). Ou seja, a espira começa a rodar de modo que seu normal +\hat{z} aproxime-se de +\hat{y}.
  • O fato de \vec{\tau} apontar em -\hat{x} indica o eixo e o sentido da rotação segundo a regra da mão direita aplicada ao torque: o giro é em torno do eixo x no sentido dado por um vetor torque apontando para -x (isto é, para o lado negativo do eixo x).
  • Observação útil para a prova: em campo magnético uniforme não há força resultante sobre a espira inteira (a força líquida é zero), mas pode haver torque — exatamente o caso aqui.

Passo 6

Magnitude do torque e fórmula pronta para usar na prova: como \vec{\mu} é perpendicular a \vec{B} aqui ( +\hat{z} é ortogonal a +\hat{y}), o ângulo entre eles é \theta=90^\circ e
\lVert\vec{\tau}\rVert=\lVert\vec{\mu}\rVert\lVert\vec{B}\rVert\sin\theta = (I S)B\cdot 1 = I S B.
Portanto, magnitude I S B e direção -\hat{x}.

Passo 7

Resumo prático (como usar isso na prova): identifique o sentido da corrente, aplique a regra da mão direita para achar \vec{\mu}; escreva \vec{B} e compute \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}. Lembre-se das identidades de produto vetorial entre \hat{x},\hat{y},\hat{z} para achar a direção rapidamente.

Resposta

Sim. \vec{\tau} = -I S B\,\hat{x}.
Direção: -\hat{x} (magnidão \lVert\vec{\tau}\rVert = I S B, torque que tende a girar a espira para alinhar \vec{\mu} com \vec{B}).

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