Checkpoint 7.3.1
A direção do campo elétrico ao longo do eixo de um dipolo elétrico coincide com a direção do momento de dipolo elétrico?
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao longo do eixo de um dipolo elétrico, a direção do campo elétrico coincide com a direção do momento de dipolo elétrico.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
- Temos um dipolo elétrico (duas cargas opostas muito próximas).
- Queremos a direção do campo elétrico no eixo que passa pelas duas cargas (o “eixo do dipolo”).
- O momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial associada ao par de cargas.
Passo 2
Definições e convenções que vou usar (explicação didática):
- Um dipolo elétrico simples tem duas cargas
e separadas por uma distância . Coloco a carga em e a carga em sobre o eixo . Essa é só uma escolha de coordenadas conveniente. - O momento de dipolo elétrico
é definido por: , onde é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso eixo com as posições acima, aponta para e tem magnitude . - Para calcular o campo elétrico no eixo, uso a lei de Coulomb para cada carga e somo vetorialmente (no eixo, isso reduz a soma algébrica dos componentes
).
Passo 3
Cálculo do campo elétrico no eixo (passo a passo das contas):
- Considere um ponto qualquer sobre o eixo em coordenada
(qualquer , positivo ou negativo). O campo total na direção é a soma dos campos das duas cargas, todos alinhados com . Usando a lei de Coulomb, a componente do campo é
Aqui
representa o sinal que determina o sentido do vetor campo (para simplificar a álgebra a seguir, podemos tratar os casos de
maiores que
e
menores que
e também o caso intermediário; o resultado final válido em todos os casos pode ser escrito sem o
usando as potências adequadas).
Passo 4
Simplificação algébrica da expressão (forma compacta):
- Para pontos fora da região entre as cargas (por exemplo
) a expressão simplifica para
- Colocando em um único quociente, obtemos (fazer as subtrações e simplificar)
Essa é uma expressão exata (válida para
fora dos pontos singulares), e já mostra que o campo está na direção
(ou
, dependendo do sinal de
) — ou seja, é colinear com o eixo do dipolo.
Passo 5
Fórmula do campo no regime de dipolo (fórmula usada com frequência em provas) e relação com
:
- Quando estamos suficientemente longe do dipolo,
, podemos aproximar . Assim a expressão fica
- Lembre que
. Substituindo,
- Escrevendo em forma vetorial (no eixo),
Essa expressão é muito usada: mostra claramente que, no campo de dipolo (sob a aproximação de dipolo ideal), o campo no eixo é paralelo ao vetor
(ou antiparalelo, dependendo do sinal de
).
Passo 6
Interpretação do sinal e da direção (intuição física):
- A expressão vetorial anterior indica que
é colinear com . Se você estiver no lado do eixo na direção do vetor (por exemplo, quando aponta para ), então e aponta no mesmo sentido de . - Se você estiver do outro lado do dipolo (
quando aponta para ), então e aponta no sentido oposto a . - Em palavras simples: ao longo do eixo, o campo elétrico é sempre paralelo ao momento de dipolo; o sentido (mesmo ou contrário) depende de de que lado do dipolo você está. Mais: linhas de campo saem da carga positiva e entram na negativa; isso gera exatamente essa orientação.
Passo 7
Dica prática para a prova e resumo didático:
- Sempre que ver uma pergunta sobre direção do campo no eixo de um dipolo, pense: “o campo é colinear com o eixo do dipolo”. Depois verifique o lado: no lado da carga positiva o campo aponta junto com
, no lado oposto aponta invertido. - Se pedirem a expressão numérica em aproximação de dipolo, use
(válida para ).
Resposta
Sim — ao longo do eixo do dipolo o campo elétrico é colinear com o momento de dipolo
; aponta no mesmo sentido de
no lado da carga positiva e no sentido oposto no lado contrário.