Checkpoint 7.3.1

A direção do campo elétrico ao longo do eixo de um dipolo elétrico coincide com a direção do momento de dipolo elétrico?

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao longo do eixo de um dipolo elétrico, a direção do campo elétrico coincide com a direção do momento de dipolo elétrico.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
  • Temos um dipolo elétrico (duas cargas opostas muito próximas).
  • Queremos a direção do campo elétrico no eixo que passa pelas duas cargas (o “eixo do dipolo”).
  • O momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial associada ao par de cargas.

Passo 2

Definições e convenções que vou usar (explicação didática):
  • Um dipolo elétrico simples tem duas cargas +q e -q separadas por uma distância d. Coloco a carga +q em z=+d/2 e a carga -q em z=-d/2 sobre o eixo z. Essa é só uma escolha de coordenadas conveniente.
  • O momento de dipolo elétrico \mathbf{p} é definido por: \mathbf{p}=q\,\mathbf{d}, onde \mathbf{d} é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso eixo z com as posições acima, \mathbf{p} aponta para +z e tem magnitude \;p=qd.
  • Para calcular o campo elétrico no eixo, uso a lei de Coulomb para cada carga e somo vetorialmente (no eixo, isso reduz a soma algébrica dos componentes z).

Passo 3

Cálculo do campo elétrico no eixo (passo a passo das contas):
  • Considere um ponto qualquer sobre o eixo em coordenada z (qualquer z, positivo ou negativo). O campo total na direção z é a soma dos campos das duas cargas, todos alinhados com \hat{\mathbf{z}}. Usando a lei de Coulomb, a componente z do campo é
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q}{(z-d/2)^2}\cdot\operatorname{sgn}(z-d/2)+\frac{-q}{(z+d/2)^2}\cdot\operatorname{sgn}(z+d/2)\right].
Aqui \operatorname{sgn}(\cdot) representa o sinal que determina o sentido do vetor campo (para simplificar a álgebra a seguir, podemos tratar os casos de z maiores que d/2 e z menores que -d/2 e também o caso intermediário; o resultado final válido em todos os casos pode ser escrito sem o \operatorname{sgn} usando as potências adequadas).

Passo 4

Simplificação algébrica da expressão (forma compacta):
  • Para pontos fora da região entre as cargas (por exemplo z>d/2) a expressão simplifica para
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{(z-d/2)^2}-\frac{q}{(z+d/2)^2}\right).
  • Colocando em um único quociente, obtemos (fazer as subtrações e simplificar)
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2q d\, z}{\bigl(z^2-(d/2)^2\bigr)^2}.
Essa é uma expressão exata (válida para z fora dos pontos singulares), e já mostra que o campo está na direção \hat{\mathbf{z}} (ou -\hat{\mathbf{z}}, dependendo do sinal de z) — ou seja, é colinear com o eixo do dipolo.

Passo 5

Fórmula do campo no regime de dipolo (fórmula usada com frequência em provas) e relação com \mathbf{p}:
  • Quando estamos suficientemente longe do dipolo, |z|\gg d, podemos aproximar \bigl(z^2-(d/2)^2\bigr)^2\approx z^4. Assim a expressão fica
E_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q d}{z^3}.
  • Lembre que \;p=q d. Substituindo,
E_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{z^3}.
  • Escrevendo em forma vetorial (no eixo),
\mathbf{E}_{\text{eixo}}\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\mathbf{p}}{z^3}.
Essa expressão é muito usada: mostra claramente que, no campo de dipolo (sob a aproximação de dipolo ideal), o campo no eixo é paralelo ao vetor \mathbf{p} (ou antiparalelo, dependendo do sinal de z).

Passo 6

Interpretação do sinal e da direção (intuição física):
  • A expressão vetorial anterior indica que \mathbf{E} é colinear com \mathbf{p}. Se você estiver no lado do eixo na direção do vetor \mathbf{p} (por exemplo, z>0 quando \mathbf{p} aponta para +z), então z^3>0 e \mathbf{E} aponta no mesmo sentido de \mathbf{p}.
  • Se você estiver do outro lado do dipolo ( z<0 quando \mathbf{p} aponta para +z), então z^3<0 e \mathbf{E} aponta no sentido oposto a \mathbf{p}.
  • Em palavras simples: ao longo do eixo, o campo elétrico é sempre paralelo ao momento de dipolo; o sentido (mesmo ou contrário) depende de de que lado do dipolo você está. Mais: linhas de campo saem da carga positiva e entram na negativa; isso gera exatamente essa orientação.

Passo 7

Dica prática para a prova e resumo didático:
  • Sempre que ver uma pergunta sobre direção do campo no eixo de um dipolo, pense: “o campo é colinear com o eixo do dipolo”. Depois verifique o lado: no lado da carga positiva o campo aponta junto com \mathbf{p}, no lado oposto aponta invertido.
  • Se pedirem a expressão numérica em aproximação de dipolo, use \displaystyle \mathbf{E}_{\text{eixo}}\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\mathbf{p}}{z^3} (válida para |z|\gg d).

Resposta

Sim — ao longo do eixo do dipolo o campo elétrico é colinear com o momento de dipolo \mathbf{p}; aponta no mesmo sentido de \mathbf{p} no lado da carga positiva e no sentido oposto no lado contrário.

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