Um atleta pula de um trampolim. Enquanto está no ar, ele realiza piruetas espetaculares. Considere apenas o momento em que o atleta está no ar (antes de tocar a água) e despreze a resistência do ar. Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as afirmativas abaixo.
- ( ) A trajetória do centro de massa do atleta é uma parábola.
- ( ) A trajetória de qualquer ponto do corpo do atleta depende apenas das forcas externas que atuam sobre o atleta.
- ( ) O centro de massa do atleta tem velocidade de módulo constante.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado descreve um atleta que está no ar (entre o trampolim e a água), desprezando a resistência do ar. Pede-se que eu classifique com Verdadeiro (V) ou Falso (F) as três afirmativas abaixo:
- (1) A trajetória do centro de massa do atleta é uma parábola.
- (2) A trajetória de qualquer ponto do corpo do atleta depende apenas das forças externas que atuam sobre o atleta.
- (3) O centro de massa do atleta tem velocidade de módulo constante.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Considerar apenas o intervalo em que o atleta está no ar (isto é, movimento sob a ação das forças atuantes nesse intervalo).
- Desprezar a resistência do ar (portanto a única força externa significativa é a gravidade, que pode ser tratada como campo uniforme
). - O corpo do atleta é um sistema estendido (vários pontos ligados por forças internas musculares), não apenas uma partícula.
Passo 2
Mostrar por que a trajetória do centro de massa é uma parábola (resposta à afirmativa 1).
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante para um sistema de partículas (ou corpo rígido): a equação do movimento do centro de massa é dada por
onde
é a massa total e
a aceleração do centro de massa. Isso significa que, para fins de movimento transacional, o centro de massa se comporta como uma partícula de massa
sujeita à soma das forças externas.
No enunciado desprezamos a resistência do ar, então a única força externa relevante é a gravidade. Em campo gravitacional uniforme a soma das forças externas é
com
(usando eixo vertical
positivo para cima).
Substituindo,
Integrando a aceleração constante obtemos a posição do centro de massa:
Escrevendo em componentes:
A relação entre
e
elimina
e dá uma equação quadrática em
— isto é, uma parábola. Portanto a afirmativa (1) é Verdadeira.
Passo 3
Entender se a trajetória de qualquer ponto do corpo depende apenas das forças externas (resposta à afirmativa 2).
Qualquer ponto material do atleta tem posição absoluta que pode ser decomposta em:
onde
é a posição do centro de massa e
é o vetor que liga o centro de massa ao ponto considerado (posição relativa ao CM). A função
é determinada pelas forças externas através da equação do passo anterior. Já
descreve a orientação e a configuração interna do corpo — ela muda quando o atleta gira, dobra os braços, estica as pernas etc.
O que determina
? As forças internas (músculos, articulações) e também os torques/forças externas que possam agir com braço de alavanca diferente do centro de massa. Em particular:
- Forças internas podem alterar a distribuição interna de movimento (por exemplo o atleta puxa os braços para dentro para girar mais rápido). Essas forças internas não mudam a equação do centro de massa, mas mudam
e, portanto, a trajetória de pontos específicos do corpo. - Em um campo gravitacional uniforme a soma das torques externas sobre o CM é nula, então o momento angular total em torno do CM é conservado; isso limita como a rotação global muda, mas ainda permite variações relativas internas (o atleta redistribui momento angular entre membros). Logo, a trajetória de um ponto depende também das ações internas do atleta — não apenas das forças externas.
Conclusão: a trajetória de um ponto qualquer não depende somente das forças externas; depende também das forças internas e de como o atleta move seus braços/pernas. Portanto a afirmativa (2) é Falsa.
(Um exemplo concreto: se o atleta mantém os braços esticados ou os puxa para dentro, o centro de massa faz a mesma parábola, mas a trajetória da mão leve muda muito — então a trajetória da mão depende de movimentos internos.)
Passo 4
Verificar se o módulo da velocidade do centro de massa é constante (resposta à afirmativa 3).
Do passo 2 já temos as componentes da velocidade do centro de massa:
O módulo da velocidade é
Esse valor depende de
em geral (porque a componente vertical muda linearmente com
). Só seria constante em casos especiais (por exemplo se
ou se
e
combinassem de forma estranha ao longo do intervalo), mas para um salto real com
o módulo varia: a velocidade diminui subindo e aumenta ao descer. Assim a afirmativa (3) é Falsa.
Passo 5
Juntando as respostas:
- (1) Verdadeira,
- (2) Falsa,
- (3) Falsa.
Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (e):
.
Resposta
e. V, F, F