Um atleta pula de um trampolim. Enquanto está no ar, ele realiza piruetas espetaculares. Considere apenas o momento em que o atleta está no ar (antes de tocar a água) e despreze a resistência do ar. Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as afirmativas abaixo.
  • ( ) A trajetória do centro de massa do atleta é uma parábola.
  • ( ) A trajetória de qualquer ponto do corpo do atleta depende apenas das forcas externas que atuam sobre o atleta.
  • ( ) O centro de massa do atleta tem velocidade de módulo constante.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. V, V, F
\bigcirc b. F, V, V
\bigcirc c. V, V, V
\bigcirc d. V, F, V
\bigcirc e. V, F, F

Passo 1

O enunciado descreve um atleta que está no ar (entre o trampolim e a água), desprezando a resistência do ar. Pede-se que eu classifique com Verdadeiro (V) ou Falso (F) as três afirmativas abaixo:
  • (1) A trajetória do centro de massa do atleta é uma parábola.
  • (2) A trajetória de qualquer ponto do corpo do atleta depende apenas das forças externas que atuam sobre o atleta.
  • (3) O centro de massa do atleta tem velocidade de módulo constante.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Considerar apenas o intervalo em que o atleta está no ar (isto é, movimento sob a ação das forças atuantes nesse intervalo).
  • Desprezar a resistência do ar (portanto a única força externa significativa é a gravidade, que pode ser tratada como campo uniforme \vec g).
  • O corpo do atleta é um sistema estendido (vários pontos ligados por forças internas musculares), não apenas uma partícula.

Passo 2

Mostrar por que a trajetória do centro de massa é uma parábola (resposta à afirmativa 1).
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante para um sistema de partículas (ou corpo rígido): a equação do movimento do centro de massa é dada por
m\vec a_{CM}=\sum \vec F_{ext},
onde m é a massa total e \vec a_{CM} a aceleração do centro de massa. Isso significa que, para fins de movimento transacional, o centro de massa se comporta como uma partícula de massa m sujeita à soma das forças externas.
No enunciado desprezamos a resistência do ar, então a única força externa relevante é a gravidade. Em campo gravitacional uniforme a soma das forças externas é
\sum \vec F_{ext}=m\vec g,
com \vec g=(0,-g) (usando eixo vertical y positivo para cima).
Substituindo,
m\vec a_{CM}=m\vec g \quad\Rightarrow\quad \vec a_{CM}=\vec g \quad(\text{constante}).
Integrando a aceleração constante obtemos a posição do centro de massa:
\vec R(t)=\vec R_0+\vec V_0 t + \tfrac{1}{2}\vec g t^2.
Escrevendo em componentes:
x(t)=x_0+v_{x0}\,t,\qquad y(t)=y_0+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
A relação entre x e y elimina t e dá uma equação quadrática em x — isto é, uma parábola. Portanto a afirmativa (1) é Verdadeira.

Passo 3

Entender se a trajetória de qualquer ponto do corpo depende apenas das forças externas (resposta à afirmativa 2).
Qualquer ponto material do atleta tem posição absoluta que pode ser decomposta em:
\vec r(t)=\vec R(t)+\vec \rho(t),
onde \vec R(t) é a posição do centro de massa e \vec \rho(t) é o vetor que liga o centro de massa ao ponto considerado (posição relativa ao CM). A função \vec R(t) é determinada pelas forças externas através da equação do passo anterior. Já \vec \rho(t) descreve a orientação e a configuração interna do corpo — ela muda quando o atleta gira, dobra os braços, estica as pernas etc.
O que determina \vec \rho(t)? As forças internas (músculos, articulações) e também os torques/forças externas que possam agir com braço de alavanca diferente do centro de massa. Em particular:
  • Forças internas podem alterar a distribuição interna de movimento (por exemplo o atleta puxa os braços para dentro para girar mais rápido). Essas forças internas não mudam a equação do centro de massa, mas mudam \vec \rho(t) e, portanto, a trajetória de pontos específicos do corpo.
  • Em um campo gravitacional uniforme a soma das torques externas sobre o CM é nula, então o momento angular total em torno do CM é conservado; isso limita como a rotação global muda, mas ainda permite variações relativas internas (o atleta redistribui momento angular entre membros). Logo, a trajetória de um ponto depende também das ações internas do atleta — não apenas das forças externas.
Conclusão: a trajetória de um ponto qualquer não depende somente das forças externas; depende também das forças internas e de como o atleta move seus braços/pernas. Portanto a afirmativa (2) é Falsa.
(Um exemplo concreto: se o atleta mantém os braços esticados ou os puxa para dentro, o centro de massa faz a mesma parábola, mas a trajetória da mão leve muda muito — então a trajetória da mão depende de movimentos internos.)

Passo 4

Verificar se o módulo da velocidade do centro de massa é constante (resposta à afirmativa 3).
Do passo 2 já temos as componentes da velocidade do centro de massa:
v_x(t)=v_{x0}\quad(\text{constante}),\qquad v_y(t)=v_{y0}-g t.
O módulo da velocidade é
v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}=\sqrt{v_{x0}^2+\bigl(v_{y0}-g t\bigr)^2}.
Esse valor depende de t em geral (porque a componente vertical muda linearmente com t). Só seria constante em casos especiais (por exemplo se g=0 ou se v_{y0} e g combinassem de forma estranha ao longo do intervalo), mas para um salto real com g\neq0 o módulo varia: a velocidade diminui subindo e aumenta ao descer. Assim a afirmativa (3) é Falsa.

Passo 5

Juntando as respostas:
  • (1) Verdadeira,
  • (2) Falsa,
  • (3) Falsa.
Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (e): V, F, F.

Resposta

e. V, F, F

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