A haste A B de 4,57 \mathrm{~m} tem a extremidade A fixa, sendo a força de tração no cabo B C de 1690 N . Substitua a força do cabo em B por um sistema força-binário equivalente em A.

Passo 1

O que o enunciado pede: substituir a força de tração no cabo B C de 1690\\ \mathrm{N} por um sistema força‑binário equivalente em A (ou seja, calcular a mesma força aplicada em A e o momento em A que representa o efeito de levar a força de B para A).\n
Informações relevantes (retirei estes valores da figura enviada):\n
  • Comprimento da haste A B:\ \,4{,}57\\ \mathrm{m}.\n
  • Força no cabo B C:\ \,1690\\ \mathrm{N}.\n
  • Distância horizontal do plano da parede (onde está A) até a linha vertical que passa por C:\ \,3{,}05\\ \mathrm{m} (peguei este valor da imagem).\n
  • Distância vertical indicada na imagem entre C e a projeção na linha do cabo:)\ \,1{,}83\\ \mathrm{m} (peguei este valor da imagem).\n
    Convenção de eixos (escolha prática, consistente com a figura):\n
  • Coloco A na origem: \mathbf{r}_A=(0,0,0).\n
  • Eixo x ao longo da haste A B, positivo para a direita (da parede para fora). Então \mathbf{r}_B=(4{,}57,\,0,\,0)\\ \mathrm{m}.\n
  • Eixo z para cima (vertical). Eixo y completa o sistema (para dentro/fora da página). Pela figura, C está deslocado ao longo x e z, sem componente em y, então tomo \mathbf{r}_C=(3{,}05,\,0,\,1{,}83)\\ \mathrm{m}.\n
    Observação: usei exatamente as medidas mostradas na figura para determinar as coordenadas de B e C. A resolução segue a partir daí.

Passo 2

Determinar o vetor que liga B a C: \mathbf{r}_{BC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B.\n
Calculando componente a componente (tudo em metros):
\mathbf{r}_{BC}=(3{,}05-4{,}57,\;0-0,\;1{,}83-0) = (-1{,}52,\;0,\;1{,}83).

Passo 3

Encontrar o módulo (comprimento) do cabo B C, que é |\mathbf{r}_{BC}|. Isso é necessário para achar a direção (versor) da força.\n
Fórmula do comprimento de um vetor em 3D:
|\mathbf{r}_{BC}|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
Aplicando aos números:
|\mathbf{r}_{BC}|=\sqrt{(-1{,}52)^2+0^2+(1{,}83)^2} =\sqrt{2{,}3104+0+3{,}3489} =\sqrt{5{,}6593}=2{,}3798\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Obter o versor (vetor unitário) na direção do cabo, \hat{\mathbf{u}}=\dfrac{\mathbf{r}_{BC}}{|\mathbf{r}_{BC}|}. Isso nos diz a direção da força de tração.\n
Dividindo cada componente:
\hat{\mathbf{u}}=\left(\dfrac{-1{,}52}{2{,}3798},\;0,\;\dfrac{1{,}83}{2{,}3798}\right) \approx(-0{,}6389,\;0,\;0{,}7683).
Explanação rápida: o versor tem comprimento 1 e aponta de B para C; multiplicando-o pela intensidade 1690\\ \mathrm{N} obtemos as componentes da força.

Passo 5

Calcular as componentes da força \mathbf{F} aplicada em B. Usamos
\mathbf{F}=F\,\hat{\mathbf{u}},
onde F=1690\\ \mathrm{N}.\n
Multiplicando as componentes:
\mathbf{F}=1690\cdot(-0{,}6389,\;0,\;0{,}7683) \approx(-1080{,}4,\;0,\;1299{,}4)\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força tem componente negativa em x (puxa em direção à parede) e componente positiva em z (puxa para cima). A componente em y é zero conforme a escolha geométrica da figura.

Passo 6

Mover a força de B para A exige manter a mesma força (mesma resultante) e incluir um momento de corpo para preservar os efeitos de giro. O sistema equivalente em A é formado por:\n
  • A mesma força aplicada em A: \mathbf{F}_A=\mathbf{F}.\n
  • Um momento em A igual ao momento da força em B em relação a A: \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{AB}\times\mathbf{F}, onde \mathbf{r}_{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=(4{,}57,0,0)\\ \mathrm{m}.\n
    Cálculo do momento por produto vetorial. Para \mathbf{r}_{AB}=(4{,}57,0,0) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) o produto cruzado é:
\mathbf{r}_{AB}\times\mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 4{,}57 & 0 & 0\\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} =(0\cdot F_z-0\cdot F_y)\,\mathbf{i}-(4{,}57\cdot F_z-0\cdot F_x)\,\mathbf{j}+(4{,}57\cdot F_y-0\cdot F_x)\,\mathbf{k}.
Como F_y=0, isto simplifica para
\mathbf{M}_A=(0,\;-4{,}57\;F_z,\;0).
Agora substituímos F_z\approx1299{,}4\\ \mathrm{N}:
\mathbf{M}_A=(0,\;-4{,}57\times1299{,}4,\;0)=(0,\;-5938{,}3,\;0)\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: o momento resultante é um momento em torno do eixo y (isto é, gira a haste em torno do eixo y), com sinal negativo segundo a convenção adotada (o sinal indica sentido do momento).]

Passo 7

Resumo interpretativo (como eu aplicaria isso numa prova):\n
  • Primeiro encontre a direção da tração pelo vetor de B a C e normaliza (isso dá o versor da força).\n
  • Multiplique o versor pela intensidade para obter as componentes da força.\n
  • Para levar a força de B para A, mantenha a mesma força e adicione o momento \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{AB}\times\mathbf{F}.\n
    Valores finais calculados (arredondados): força \mathbf{F}_A e momento \mathbf{M}_A em A foram obtidos nos passos anteriores.

Resposta

\mathbf{F}_A = (-1080{,}4,\;0,\;1299{,}4)\\ \mathrm{N}\n
\mathbf{M}_A = (0,\;-5938{,}3,\;0)\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados