Uma força \mathbf{P}, de módulo P, é aplicada ao ponto B da borda de uma placa semicircular de raio a. (a) Substitua \mathbf{P} por um sistema força-binário equivalente no ponto D, pé da perpendicular baixada de B ao eixo x. (b) Determine o valor de \theta para o qual o momento do sistema força-binário equivalente em D seja máximo.

Passo 1

O enunciado: uma força \mathbf{P} de módulo P é aplicada no ponto B da borda de uma placa semicircular de raio a. O ponto D é o pé da perpendicular de B ao eixo x. As perguntas são: (a) substituir a força aplicada em B por um sistema força + binário equivalente no ponto D; (b) achar o valor de \theta para o qual o momento (binário) em D é máximo. Informações dadas e observadas na figura: (i) o diâmetro da semicircunferência está sobre o eixo x com a esquerda em O(0,0) e a direita em C(2a,0) — logo o centro do círculo é (a,0); (ii) o raio vale a; (iii) o ponto B está no arco e a reta OB forma um ângulo \theta com o eixo x (vejo isso na figura); (iv) a força \mathbf{P} tem direção paralela a OB (isso também aparece na figura: a seta é paralela à reta OB). Não estou pedindo nada além do que a figura já mostra.

Passo 2

Primeiro vamos localizar as coordenadas de B em função de \theta. Faço o método geométrico: a reta que parte de O(0,0) com ângulo \theta tem equações paramétricas
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância de O até o ponto de interseção com a circunferência. A circunferência de centro (a,0) e raio a satisfaz
(x-a)^2+y^2=a^2.
Substituo x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta nessa equação e resolvo para r:
(r\cos\theta - a)^2 + (r\sin\theta)^2 = a^2.
Expandindo e simplificando obtemos
r^2 - 2ar\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad r( r - 2a\cos\theta)=0.
Descartando r=0, vem
r = 2a\cos\theta.

Passo 3

Agora obtenho as coordenadas de B usando r=2a\cos\theta:
x_B = r\cos\theta = 2a\cos^2\theta, \qquad y_B = r\sin\theta = 2a\cos\theta\sin\theta = a\sin 2\theta.
O pé D da perpendicular de B ao eixo x tem coordenadas
x_D = x_B = 2a\cos^2\theta,\qquad y_D = 0.

Passo 4

Explico como montar o sistema força-binário equivalente: uma força qualquer aplicada num ponto pode ser substituída por uma força idêntica aplicada em outro ponto mais um binário (momento) igual ao momento da força em relação ao novo ponto. Em termos vetoriais, se \mathbf{r} é o vetor do novo ponto até o ponto de aplicação original, então o binário é \mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{P}. No nosso caso o novo ponto é D e o ponto original é B, logo \mathbf{r}_{D\to B}=\overrightarrow{DB}=(0,y_B).

Passo 5

Escrevo a força \mathbf{P} em componentes usando a informação da figura (direção paralela a OB, isto é, ângulo \theta com o eixo x):
\mathbf{P} = P\cos\theta\,\mathbf{i} + P\sin\theta\,\mathbf{j}.
O vetor posição de D para B é
\overrightarrow{DB} = \bigl(0,\;y_B\bigr)=\bigl(0,\;2a\cos\theta\sin\theta\bigr).

Passo 6

Calculo o binário (momento) em D como produto vetorial em 2D (com componente k saindo da página):
M_{D,z} = \bigl(\overrightarrow{DB}\times\mathbf{P}\bigr)\cdot\mathbf{k} = x_{DB}P_y - y_{DB}P_x.
Como x_{DB}=0 obtemos
M_{D,z} = -\,y_B\,P\cos\theta.
Tomando o módulo do momento (ou seu valor escalar positivo para o tamanho do binário),
|M_D| = y_B\,P\cos\theta = \bigl(2a\cos\theta\sin\theta\bigr)P\cos\theta =2aP\sin\theta\cos^2\theta.
Uma forma alternativa, equivalente, é
|M_D| = aP\sin 2\theta\cos\theta.
Quanto ao sentido: o sinal negativo em M_{D,z} indica que, com o sistema de eixos usual (x,y), o momento produzido é no sentido horário (isto é, apontando no sentido -\mathbf{k}).

Passo 7

Agora resolvo (b): determinar \theta que maximiza |M_D|. É suficiente maximizar a função
f(\theta)=\sin\theta\cos^2\theta,
pois |M_D|=2aP\,f(\theta) e 2aP>0. Calculo a derivada:
f'(\theta)=\cos\theta\cos^2\theta + \sin\theta\cdot 2\cos\theta(-\sin\theta) = \cos\theta\bigl(\cos^2\theta-2\sin^2\theta\bigr).
Zerando f'(\theta) obtemos \cos\theta=0 ou \cos^2\theta-2\sin^2\theta=0. A solução \cos\theta=0 dá extremos em \theta=\pi/2 (onde f=0 ), não é máximo interno positivo. A outra condição é
\cos^2\theta = 2\sin^2\theta \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1}{2}
ou
\tan^2\theta=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin^2\theta=\frac{1}{3}.
Nesse intervalo útil 0<\theta<\pi/2 tomamos
\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad \theta=\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 8

Calculo o momento máximo correspondendo a esse \theta. Com \sin\theta=1/\sqrt{3} vem \cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Então
|M_D|_{\max}=2aP\sin\theta\cos^2\theta =2aP\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3} =\frac{4aP}{3\sqrt{3}}.

Resposta

(a) Sistema equivalente em D: a força \mathbf{P} aplicada em D mais um binário em D de módulo \;|M_D|=2aP\sin\theta\cos^2\theta\;(equivalente: |M_D|=aP\sin2\theta\cos\theta), com sentido horário (componente M_{D,z}=-y_BP\cos\theta).
(b) \displaystyle \theta_{\text{máx}}=\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)á, e o momento máximo vale \displaystyle |M_D|_{\max}=\frac{4aP}{3\sqrt{3}}.

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